Eine nichtgeometrische Konstruktion der Spektren P(n)

und Multiplikative Automorphismen von K(n)

Christian Nassau

4. Oktober 1995

Inhaltsverzeichnis

1 Konstruktion der BP-Modulspektren P(n) 2 1.1 Bordismentheorie mit Singularitäten - Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Voraussetzungen und erste Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Konstruktion der Modulspektrenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Primitive Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Konstruktion der Multiplikation auf M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Die Algebrenstruktur von M_{∗}(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Anwendung auf BP und P(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Über P(n) und K(n) für p = 2 28 2.1 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Formale Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Zur Konstruktion von K(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Multiplikative und antimultiplikative Automorphismen von K(n) . . . . . . . . . . . 35

A BP-zulässige Produkte P(n) ∧ P(n) → P(n) für p = 2 39

Literaturverzeichnis 43

1 Konstruktion der BP-Modulspektren P(n)

1.1 Bordismentheorie mit Singularitäten - Überblick

Bordismentheorien sind geometrisch definierte verallgemeinerte Homologie- und Cohomologietheorien, die in Analogie zur klassischen singulären Homologie- bzw. Cohomologie definiert werden können. In der klassischen Homologie betrachtet man stetige Abbildungen f : Δ → X ”kompakter, randloser simplizialer Komplexe“ Δ in den zu untersuchenden Raum X, Zykel genannt, unter Identifikation solcher Zykel f_{1} : Δ_{1} → X, f_{2} : Δ_{2} → X, die sich stetig auf einen kompakten simplizialen Komplex Δ̃ mit ”∂Δ̃ = Δ_{1} ⨿ −Δ_{2}“ fortsetzen lassen. Bordismentheorien erhält man, indem man überall simpliziale Komplexe durch differenzierbare Mannigfaltigkeiten (evtl. mit einer zusätzlichen Struktur, z.B. einer Orientierung o.Ä.) ersetzt. Erstaunlicherweise sind die Koeffizientengruppen und Operationenalgebren dieser Theorien in vielen Fällen berechenbar (vgl. [St]). Die klassische Konstruktion der Fundamentalklasse einer (im geeigneten Sinne orientierten) Mannigfaltigkeit definiert überdies eine natürliche Transformation in die gewöhnliche Homologie mit geeigneten Koeffizientengruppen, die sogenannte Thom-Reduktion.

Wir werden uns im folgenden mit der Bordismentheorie MU_{∗}(−) ”komplex-orientierter“ Mannigfaltigkeiten, bzw. deren p-lokaler Form BP_{∗}(−) für eine fest gewählte Primzahl p, beschäftigen. Die genaue Definition dieser ”komplexen Orientierungen“ findet man z.B. in dem Buch von Stong. Dort (oder – etwas moderner – in [R]) wird auch gezeigt, daß MU_{∗} ein Polynomring Z[x_{1}, x_{2},…] mit x_{i} ∈ π_{2i}(MU) ist. Das kartesische Produkt von Mannigfaltigkeiten definiert eine Ringspektrenstruktur auf MU. Die Thom-Reduktion T : MU → H führt in diesem Fall in die gewöhnliche Homologie mit Koeffizienten in Z.

Bordismentheorien von ”Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten“ wurden erfunden um diesen Morphismus T : MU → H zu faktorisieren. Ist I = (P_{0}, P_{1},…, P_{n}) ⊂ MU_{∗} ein reguläres Ideal, so liefert eine Konstruktion, die der Idee nach auf Sullivan zurückgeht, deren Ausarbeitung aber auf Baas (vgl. [Ba]) warten mußte, intermediäre Theorien MU(P_{0}), MU(P_{0}, P_{1}), …, MU(P_{0}, P_{1},…, P_{n}) mit π_{∗}(MU(P_{0},…, P_{n})) = MU_{∗}/(P_{0},…, P_{n}) und eine Faktorisierung von T : MU → H in der Form

MU ⟶^{η_{0}} MU(P_{0}) ⟶^{η_{1}} ⋯ ⟶^{η_{n}} MU(P_{0},…, P_{n}) ⟶ ⋯ ⟶ H.

Diese Theorien sind MU-Modultheorien und (zumindest wenn MU_{∗}/(P_{0}) in jeder Dimension endlich ist, vgl. [W76], 3.18) durch Cofaserfolgen (die Baas-Sullivan-Folgen)

[figure: MU(P_{0},…, P_{i}); MU(P_{0},…, P_{i}); ·P_{i+1}; MU(P_{0},…, P_{i+1}); ∂_{i+1}; η_{i+1}]

verbunden.

Die genaue Definition einer Mannigfaltigkeit mit Singularitäten – im folgenden als MmS abgekürzt – vom Typ (P_{0},…,P_{n}) ist ziemlich technisch und wird hier nicht gebraucht. Die oben erwähnte MU-Modulspektrenstruktur auf den MU(P_{0},…, P_{n}) folgt sehr leicht aus der geometrischkombinatorischen Definition der MmS. Schwierig ist es dagegen, je zwei MmS M_{1} und M_{2} eine ebensolche MmS M_{1} × M_{2} als Produkt zuzuordnen (vgl. dazu [Mi], [Mo]). Eleganter funktioniert die Konstruktion einer Ringspektrenstruktur auf diesen verallgemeinerten Bordismenspektren – zumindest in interessanten Fällen – mit den Methoden von Würgler ([W77], wenngleich der dort gegebene Beweis der Assoziativität trugschlüssig ist). Seine Methode hat den Vorteil, keinen direkten Bezug auf die geometrische Definition zu nehmen. Er benötigt allerdings das Lemma von Johnson-Wilson-Morava ([J-W], Appendix), das die MU-Modulspektrenstruktur der MU(P_{0},…, P_{i}) betrifft.

Tatsächlich legen die Baas-Sullivan-Folgen eine rein homotopietheoretische Konstruktion der Spektren MU(P_{0},…, P_{i}) nahe: Man definiere einfach MU(P_{0},…, P_{i}) rekursiv als Cofaser der P_{i}- Multiplikationsabbildung MU(P_{0},…, P_{i−1}) → MU(P_{0},…, P_{i−1}). Damit das möglich ist, zeige man (aus dieser Definition und ebenfalls rekursiv), daß das so definierte Spektrum MU(P_{0},…, P_{i}) wieder ein MU-Modulspektrum ist und daß das Johnson-Wilson-Morava Lemma für diese Modulspektrenstruktur gilt. Man benutze schließlich die Methoden Würgler’s dazu, verträgliche Ringspektrenstrukturen auf den MU(P_{0},…, P_{i}) anzugeben.

Dieses Programm werden wir – für schöne Singularitätenfolgen – im folgenden ausführen. Wir nehmen dazu an, daß auf R := MU(P_{0},…, P_{i}) eine Ringspektrenstruktur bereits konstruiert sei und definieren M = MU(P_{0},…, P_{i+1}) als Cofaser der P_{i+1}-Multiplikationsabbildung Σ^{|P_{i+1}|}R → R. Wir setzen voraus, daß P_{i+1} in R_{∗} nicht nur kein Nullteiler, sondern auch invariant sei. Wir konstruieren in Abschnitt 1.3 eine R-verträgliche R-Modulspektrenstruktur auf M und zeigen das Johnson-Wilson-Morava-Lemma. In Abschnitt 1.4 adaptieren wir die Methoden Würglers und konstruieren dann in Abschnitt 1.5 eine verträgliche Ringspektrenstruktur auf M.

Unsere Voraussetzungen an R sind dabei zwar ziemlich stark, aber immerhin von den Spektren BP und P(n), n ≥ 1, erfüllt. BP, das sogenannte Brown-Peterson-Spektrum, ist ein direkter Summand der p-lokalisierten komplexen Bordismentheorie MU_{(p)}. Am elegantesten definiert man BP als Bild des Quillen-Idempotents MU_{(p)} → MU_{(p)} (d.h. als darstellendes Spektrum der Bildtheorie), BP kann aber auch als p-lokalisierte Form einer Bordismentheorie mit Singularitäten konstruiert werden. Dies ist sogar die Definition, die man normalerweise wählen muß, wenn man ”BP-Theorie mit Singularitäten“ definieren will. BP_{∗} enthält invariante reguläre Ideale I_{n} = (v_{0},…, v_{n−1}) und man setzt P(n) = BP(v_{0},…, v_{n−1}). Um eine von der Geometrie unabhängige Konstruktion der Ringspektren P(n) (für alle Primzahlen p) wird es im folgenden gehen.

Wir fassen die Eigenschaften von BP, die wir zur Konstruktion der BP-Algebrenspektren P(n) brauchen werden in folgendem Satz zusammen. Die verwendeten Begriffe werden danach kurz erläutert.

(1.1.1) Satz. (vgl. hierzu z.B. [R], 4.1–4.3) Zu jeder Primzahl p existiert das Brown-Peterson-Spektrum BP.

(a) BP ist ein kommutatives Ringspektrum mit dem Koeffizientenring BP_{∗} = Z_{(p)}[v_{1}, v_{2},…] mit |v_{i}| = 2(p^{i} − 1). Wir setzen v_{0} = p.

(b) BP_{∗}(BP) ist eine Polynomalgebra BP_{∗}[t_{1}, t_{2},…] mit |t_{i}| = 2(p^{i} − 1).

(c) Der Kroneckerhomomorphismus

BP^{∗}(BP) ⟶ Hom_{BP_{∗}}(BP_{∗}(BP), BP^{∗})

ist ein Isomorphismus.

(BP_{∗}, BP_{∗}(BP)) ist auf kanonische Weise ein Hopf-Algebroid (da BP_{∗}(BP) BP_{∗}-frei ist) und mit I_{n} = (v_{0}, v_{1},…, v_{n−1}) ⊂ BP_{∗} gilt:

(d) I_{n} ist invariant, d.h. es ist η_{R}(I_{n}) ⊂ I_{n} · BP_{∗}(BP).

Ein paar Erläuterungen und Erinnerungen sind hier am Platz. Ausführlicher ist dies alles in [A], Ch. 9, [Sw], Ch. 13, und/oder [R], Ch. 2.2, dargestellt.

Zunächst verstehen wir unter einem Ringspektrum ein Spektrum R mit einem Produkt m : R∧R → R und einer Einheit i : S → R, sodaß m(m ∧ id) = m(id ∧ m) und id = m(i ∧ id) = m(id ∧ i) ist. Kommutativität der Multiplikation wird nicht vorausgesetzt.

Ist R ein Ringspektrum, so ist R_{∗} = R^{−∗} ein Ring und R_{∗}(−) = π_{∗}(R ∧ −) und R^{∗}(−) = [−, R]_{∗} nehmen ihre Werte in der Kategorie der zweiseitigen R_{∗}-Moduln an. Ist M mit der Operation ν : R ∧M → M ein linksseitiges R-Modulspektrum, so sind M_{∗}(−) und M^{∗}(−) auf natürliche Weise R_{∗}-Linksmoduln. Genauso bei Operation von rechts.

Auf R_{∗}(R) ist durch die Zusammensetzung

R_{∗}(R) ⊗ R_{∗}(R) ⟶^{\underline{∧}} R_{∗}(R ∧ R) ⟶^{m_{∗}} R_{∗}(R)

eine Multiplikation definiert (das Pontrjagin-Produkt). \underline{∧} ist dabei das äußere Homologieprodukt. R_{∗}(R) wird damit zu einer zweiseitigen R_{∗}-Algebra, mit der Linkseinheit

η_{L} := π_{∗}(id ∧ i) : R_{∗} → R_{∗}(R),

der Rechtseinheit

η_{R} := π_{∗}(i ∧ id) : R_{∗} → R_{∗}(R),

einer Augmentationsabbildung

ϵ := π_{∗}(m) : R_{∗}(R) → R_{∗}

und einem kanonischen Antiautomorphismus

c : R_{∗}(R) → R_{∗}(R),

der von der Vertauschungsabbildung T : R ∧ R → R ∧ R induziert wird.

Ist R_{∗}(R) ein flacher R_{∗}-Modul, so ist die natürliche Transformation

R_{∗}(R) ⊗_{R_{∗}} R_{∗}(X) ⟶^{π_{∗}(id∧m∧id)} R_{∗}(R ∧ X)

ein Isomorphismus. (R_{∗} operiert hier auf R_{∗}(R) über die Rechtseinheit η_{R}). Der Morphismus

R ∧ R ≅ R ∧ S ∧ R ⟶^{id∧i∧id} R ∧ R ∧ R

induziert damit in der Homotopie ein Coprodukt Δ : R_{∗}(R) → R_{∗}(R) ⊗_{R_{∗}} R_{∗}(R).

Falls die Multiplikation auf R kommutativ ist, sind diese Abbildungen multiplikativ und definieren auf dem Paar (R_{∗}, R_{∗}(R)) die Struktur eines Hopf-Algebroids, d.i. ein Cogruppoid-Objekt in der Kategorie der R_{∗}-Algebren (vgl. [R], Appendix I).

Ein Ideal I ⊂ R_{∗} heißt nun invariant, falls η_{R}(I) ⊂ I ·R_{∗}(R) ist. Ein Element v ∈ R_{∗} heißt invariant, falls das von v erzeugte Ideal invariant ist.

Bleibt noch zu erklären, wie der Kroneckerhomomorphismus zustande kommt. Dieser ist ein Spezialfall des Slant-Produkts, das im folgenden ebenfalls gebraucht werden wird.

Für beliebige Spektren E, F, X und Y ist

E^{∗}(X ∧ Y) ⊗ F_{∗}(Y) ⟶^{/} (E ∧ F)^{∗}(X)

folgendermaßen definiert. Sei α ∈ E^{∗}(X ∧ Y), β ∈ F_{∗}(Y). Dann ist α/β ∈ (E ∧ F)^{∗}(X) die Zusammensetzung

X ≅ X ∧ S ⟶^{id∧β} X ∧ F ∧ Y ⟶^{id∧T} X ∧ Y ∧ F ⟶^{α∧id} E ∧ F.

Wir benötigen einige Eigenschaften dieses Produkts:

Sind f : X′ → X und g : Y → Y′ gegeben und α, β wie oben, so ist (f ∧ id)^{∗}(α)/β = f^{∗}(α/β) und α/(g_{∗}(β)) = (id ∧ g)^{∗}(α)/β.

Sind σ : E → E′ und τ : F → F′ gegeben, so ist (σ ∧ τ)(α/β) = (σα)/(τβ).

Ist eine Paarung ν : E ∧ F → E gegeben, so schreiben wir α/β für ν(α/β). Wir interessieren uns im folgenden nur für den Fall, daß F ein Ringspektrum und E ein F -Rechts-Modulspektrum ist. Für x ∈ F_{∗} und α, β wie oben gelten dann die Rechenregeln

(αx)/β = α/(xβ), (xα)/β = x(α/β) und (α/β)x = α/(βx).

Wir erhalten damit eine natürliche Transformation

E^{∗}(X ∧ Y) ⟶^{λ} Hom_{F_{∗}}(F_{∗}(Y), E^{∗}(X))

via λ(α)(β) = α/β. Der Kroneckerhomomorphismus

E^{∗}(Y) ⟶^{κ} Hom_{F_{∗}}(F_{∗}(Y), E^{∗})

ergibt sich hieraus nach Definition für X = S.

1.2 Voraussetzungen und erste Folgerungen

(1.2.1) Voraussetzung. R sei ein Ringspektrum, v ∈ R_{∗}. Die folgenden Bedingungen seien erfüllt.

(I) R_{∗}(R) sei mit dem Pontrjagin-Produkt eine freie, kommutative R_{∗}-Algebra. (II) Der Kroneckerhomomorphismus

R^{∗}(R) ⟶^{κ} Hom_{R_{∗}}(R_{∗}(R), R^{∗})

sei ein Isomorphismus. Sei n = |v| der Grad von v (als Element von R_{∗}). Wir setzen ϕ = m(v ∧ id) : Σ^{n}R → R und definieren M, η und ∂ durch die Cofaserfolge

⋯ ⟶ Σ_{n}R ⟶^{ϕ} R ⟶^{η} M ⟶^{∂} Σ_{n+1}R ⟶ · · · . (1.2.A)

Dann gelte weiter: (III) v sei kein Nullteiler von R_{∗}. (IV) v sei invariant. (V) Es gelte m(v ∧ id) = m(id ∧ v). ηm : R ∧ R → M sei kommutativ. Wir kommen zu den ersten Folgerungen. (1.2.2) Lemma. Gelten (I) und (II), so ist

R^{∗}(X ∧ R) ⟶^{λ} Hom_{R_{∗}}(R_{∗}(R), R^{∗}(X))

ein natürlicher Isomorphismus. Beweis: (I) impliziert, daß die rechte Seite eine Cohomologietheorie ist. Die Natürlichkeit von λ ergibt sich aus der Natürlichkeit des Slant-Produkts. Bleibt also nur noch zu zeigen, daß λ für X = S ein Isomorphismus ist und dies ist gerade die Aussage von (II). □ (1.2.3) Lemma. ϕ_{∗} : R_{∗}(R) → R_{∗}(R) ist durch Multiplikation mit η_{R}(v) gegeben. Beweis: ϕ_{∗} ist mit der Konjugation c : R_{∗}(R) → R_{∗}(R) und der Homologieoperation ϕ : R_{∗}(R) → R_{∗}(R) durch ϕ_{∗} = cϕc verbunden. Deswegen ist ϕ_{∗}(x) = c(ϕ(c(x))) = c(vc(x)) = c(v)x = η_{R}(v)x. □ (1.2.4) Satz. Seien R und v wie in 1.2.1. Dann gilt:

(a) Die Sequenz

0 ⟶ R_{∗} ⟶^{ϕ} R_{∗} ⟶^{η} M_{∗} ⟶ 0

ist exakt.

(b) Für jedes X besteht das Bild von

(id ∧ ϕ)^{∗} : R^{∗}(X ∧ R) → R^{∗}(X ∧ R)

nur aus durch v teilbaren Elementen.

(c) Die Sequenz

0 → R^{∗}(R ∧… ∧ R) ⟶^{ϕ} R^{∗}(R ∧… ∧ R) ⟶^{η} M^{∗}(R ∧… ∧ R) → 0

ist exakt.

(d) Die Sequenz

0 → M^{∗}(R ∧… ∧ R) ⟶^{(id∧...∧id∧∂)^{∗}} M^{∗}(R ∧… ∧ M) ⟶^{(id∧...∧id∧η)^{∗}} M^{∗}(R ∧… ∧ R) → 0

ist exakt.

Beweis: a) folgt unmittelbar aus (III), da ϕ Multiplikation mit v induziert.

1.2.2 reduziert b) auf die Behauptung, daß jedes Element aus im [ϕ_{∗} : R_{∗}(R) → R_{∗}(R)] durch v teilbar ist. Dies folgt aus der Invarianz von v mit 1.2.3.

c) folgt daraus, daß Multiplikation mit v auf R^{∗}(R ∧ … ∧ R) injektiv operiert. Dies zeigt man durch Induktion nach der Anzahl der Smash-Produkt-Faktoren mit 1.2.2 und (I). Demnach ist nämlich R^{∗}(R ∧ X) isomorph zu einem Produkt dimensionsverschobener Kopien von R^{∗}(X). Der Induktionsanfang ergibt sich aus a).

Aus b) folgt, daß

im[(id ∧… ∧ id ∧ ϕ)^{∗} : R^{∗}(R ∧… ∧ R) → R^{∗}(R ∧… ∧ R)]
⊂ im[ϕ : R^{∗}(R ∧… ∧ R) → R^{∗}(R ∧… ∧ R)]

ist. In dem kommutativen Diagramm

0 → R^{∗}(R ∧… ∧ R) ⟶^{ϕ} R^{∗}(R ∧… ∧ R) ⟶^{η} M^{∗}(R ∧… ∧ R) → 0
(id∧...∧id∧ϕ)^{∗}↓  ^{(id∧...∧id∧ϕ)^{∗}}↓  ^{(id∧...∧id∧ϕ)^{∗}}↓
0 → R^{∗}(R ∧… ∧ R) ⟶^{ϕ} R^{∗}(R ∧… ∧ R) ⟶^{η} M^{∗}(R ∧… ∧ R) → 0

sind außerdem nach c) die Zeilen exakt. Man sieht damit, daß (id∧…∧id∧ϕ)^{∗} : M^{∗}(R ∧…∧R) → M^{∗}(R ∧… ∧ R) null ist und dies impliziert d). □

1.3 Konstruktion der Modulspektrenstruktur

Wir zeigen in diesem Abschnitt, daß auf M eine verträgliche R-Modulspektrenstruktur ν : R ∧M → M definiert werden kann und daß für diese das verallgemeinerte Johnson-Wilson-Morava-Lemma gilt, falls R_{∗} in geraden Dimensionen konzentriert ist.

Dabei nennen wir eine R-Modulspektrenstruktur ν : R∧M → M verträglich, falls sie das Diagramm

Σ^{n}R ∧ R ⟶^{id∧ϕ} R ∧ R ⟶^{id∧η} R ∧ M ⟶^{id∧∂} Σ^{n+1}R ∧ R
Σ^{n}m↓  ^{m}↓  _{Σ^{n+1}m}↓
Σ^{n}R ⟶^{ϕ} R ⟶^{η} M ⟶^{∂} Σ^{n+1}R

(1.3.A)

kommutativ ergänzt. Der Beweis des folgenden zentralen Lemmas wird eigentlich erst nach der Lektüre von Abschnitt 1.4 verständlich.

(1.3.1) Lemma. Es existiert eine assoziative Füllung von 1.3.A.

Beweis: Wähle ein ν : R ∧ M → M das 1.3.A kommutativ ergänzt. Ein solches ν existiert, da nach (V) das bereits existierende Quadrat kommutiert und beide Zeilen des Diagramms Cofaserfolgen sind. Wir zeigen daß ein γ ∈ M^{∗}(R ∧ M) existiert, für das ν̄ = ν − γ assoziativ ist. Aus der Konstruktion von γ wird auch ersichtlich sein, daß ν̄ ebenfalls eine Füllung von 1.3.A ist.

Sei A = ν(id ∧ ν) − ν(m ∧ id) ∈ M^{∗}(R ∧ R ∧ M) der Assoziativitätsdefekt von ν. Da m assoziativ ist und ν(id ∧ η) = ηm gilt, ist

(id ∧ id ∧ η)^{∗}(A) = 0.

Also existiert ein B ∈ M^{∗}(R ∧ R ∧ R) mit

(id ∧ id ∧ ∂)^{∗}(B) = A.

Dabei ist ∂B = 0, da ∂ : M^{∗}(R ∧ R ∧ R) → R^{∗}(R ∧ R ∧ R) nach 1.2.4c) null ist.

Nun ist

ν(id ∧ B) − B(m ∧ id ∧ id) + B(id ∧ m ∧ id) − B(id ∧ id ∧ m) = 0,

denn

(id ∧ id ∧ id ∧ ∂)^{∗} (ν(id ∧ B) − B(m ∧ id ∧ id) + B(id ∧ m ∧ id) − B(id ∧ id ∧ m))
= ν(id ∧ A) − A(m ∧ id ∧ id) + A(id ∧ m ∧ id) − A(id ∧ id ∧ ν)
= ν(id ∧ ν(id ∧ ν)) − ν(id ∧ ν)(m ∧ id ∧ id) + ν(id ∧ ν)(id ∧ m ∧ id) − ν(id ∧ ν)(id ∧ id ∧ ν)
− ν(id ∧ ν(m ∧ id)) + ν(m ∧ id)(m ∧ id ∧ id) − ν(m ∧ id)(id ∧ m ∧ id) + ν(m ∧ id)(id ∧ id ∧ ν)
= ν(id ∧ ν(id ∧ ν)) − ν(m ∧ ν) + ν(id ∧ ν(m ∧ id)) − ν(id ∧ ν(id ∧ ν))
− ν(id ∧ ν(m ∧ id)) + ν(m(m ∧ id) ∧ id) − ν(m(id ∧ m) ∧ id) + ν(m ∧ ν)
= 0

und (id ∧ id ∧ id ∧ ∂)^{∗} : M^{∗}(R ∧ R ∧ R ∧ R) → M^{∗}(R ∧ R ∧ R ∧ M) ist nach 1.2.4d) injektiv.

Setze C = B(id ∧ id ∧ i) ∈ M^{∗}(R ∧ R). Dann ist

B = B(id ∧ id ∧ m)(id ∧ id ∧ id ∧ i)
= ν(id ∧ B(id ∧ id ∧ i)) − B(id ∧ id ∧ i)(m ∧ id) + B(id ∧ id ∧ i)(id ∧ m)
= ν(id ∧ C) − C(m ∧ id) + C(id ∧ m).

Sei γ = (id ∧ ∂)^{∗}(C) ∈ M^{∗}(R ∧ M). Da ∂C wegen 1.2.4c) null ist, ist auch ∂γ = ∂(id ∧ ∂)^{∗}(C) = (id ∧ ∂)^{∗}(∂C) null. Deswegen ist auch

γ(id ∧ γ) = C(id ∧ ∂γ) = 0.

Wir zeigen nun, daß ν̄ = ν − γ assoziativ ist:

ν̄(id ∧ ν̄) − ν̄(m ∧ id) = ν(id ∧ ν) − γ(id ∧ ν) − ν(id ∧ γ) + γ(id ∧ γ)
− ν(m ∧ id) + γ(m ∧ id)
= ν(id ∧ ν) − ν(m ∧ id)
− C(id ∧ ∂ν) − ν(id ∧ C)(id ∧ id ∧ ∂) + C(m ∧ ∂)
= A − (id ∧ id ∧ ∂)^{∗} (C(id ∧ m) + ν(id ∧ C) − C(m ∧ id))
= A − (id ∧ id ∧ ∂)^{∗}(B)
= 0.

Außerdem ist ν̄ wegen (id ∧ η)^{∗}(γ) = 0 und ∂γ = 0 ebenfalls eine Füllung von 1.3.A □ Der eben gegebene Beweis scheint auf den ersten Blick nur aus ad-hoc-Konstruktionen und Rechnungen zu bestehen. Die Argumentation wird aber nach Einführung der Kokettenkomplexe C_{E}^{∗}(F, G) in 1.4.4 etwas transparenter. (vgl. Anmerkung 1.4.6. Dort wird auch gezeigt, daß die eben konstruierte Modulspektrenstruktur im wesentlichen, d.h. bis auf Automorphismen von M, eindeutig bestimmt ist.)

(1.3.2) Lemma. Jede assoziative Füllung ν von 1.3.A ist eine R-Modulspektrenstruktur, d.h. es ist ν(i ∧ id) = id.

Beweis: Setze θ = ν(i ∧ id). Da η : π_{∗}(R) → π_{∗}(M) surjektiv ist und θη = ν(i ∧ η) = ηm(i ∧ id) = η ist, ist π_{∗}(θ) : π_{∗}(M) → π_{∗}(M) die Identität, θ nach dem Whitehead-Theorem also eine Homotopieäquivalenz.

Da außerdem θ = ν(i ∧ id) = ν(m(i ∧ i) ∧ id) = ν(i ∧ ν(i ∧ id)) = θθ ist, ist θ = id. □

(1.3.3) Lemma. (Johnson-Wilson-Morava, vgl. [J-W], Appendix) Ist ν eine assoziative Füllung von 1.3.A und ist M^{−1} = M_{1} null, so ist ν(v ∧ id) = 0.

Beweis: Setze ψ = ν(v ∧ id). Da η^{∗}(ψ) = ν(v ∧ η) = ηm(v ∧ id) = ηϕ = 0 ist, ist ψ = ∂^{∗}(ψ̄) mit ψ̄ ∈ M^{∗}(R). Dabei ist

(id ∧ ∂)^{∗}(ν(id ∧ ψ̄) − ψ̄m) = ν(id ∧ ψ) − ψν
= ν(id ∧ ν(v ∧ id)) − ν(v ∧ ν)
= ν(m(id ∧ v) ∧ id) − ν(v ∧ ν)
= ν(m(v ∧ id) ∧ id) − ν(v ∧ ν)
= ν(v ∧ ν) − ν(v ∧ ν) = 0,

sodaß ν(id ∧ ψ̄) − ψ̄m = 0 ist. Sei ξ = ψ̄i ∈ M^{∗}. Dann ist ψ̄ = ψ̄m(id ∧ i) = ν(id ∧ ψ̄i) = ν(id ∧ ξ). Dabei ist |ξ| = |ν(id ∧ ξ)| = |ψ̄| = |ψ| − |∂| = |v| − (|v| + 1) = −1. Nach Voraussetzung ist also ξ = 0, sodaß auch ψ = ∂^{∗}(ν(id ∧ ξ)) = 0 wie behauptet. □

Wir fassen zusammen:

(1.3.4) Satz. Unter den Voraussetzungen von 1.2.1 existiert auf M eine R-Modulspektrenstruktur ν : R ∧ M → M, die 1.3.A kommutativ ergänzt. Ist M_{1} = M^{−1} null, so operiert v auf M^{∗}(−) und M_{∗}(−) trivial.

1.2.2 läßt sich nun noch ergänzen:

(1.3.5) Lemma. Das Slant-Produkt induziert einen natürlichen Isomorphismus

M^{∗}(X ∧ R) ⟶^{λ} Hom_{R_{∗}}(R_{∗}(R), M^{∗}(X)).

Beweis: Dies folgt wie in 1.2.2 aus der Isomorphie im Spezialfall X = S. Um diese einzusehen betrachtet man das kommutative Diagramm

0  0
↓  ↓
R^{∗}(R) ⟶^{λ} Hom_{R_{∗}}(R_{∗}(R), R^{∗})
ϕ↓  ^{ϕ}↓
R^{∗}(R) ⟶^{λ} Hom_{R_{∗}}(R_{∗}(R), R^{∗})
η↓  ^{η}↓
M^{∗}(R) ⟶^{λ} Hom_{R_{∗}}(R_{∗}(R), M^{∗})
↓  ↓
0  0

Hier sind die Spalten wegen (I), 1.2.4c) und 1.2.4a) exakt und die ersten beiden horizontalen Morphismen sind nach (II) Isomorphismen. Die Behauptung folgt mit dem Fünferlemma. □

Damit können wir 1.2.4 um eine weitere exakte Sequenz ergänzen:

(1.3.6) Lemma. M_{1} = M^{−1} sei null. Dann gilt:

(a) Für jedes Spektrum X ist (id ∧ ϕ)^{∗} : M^{∗}(X ∧ R) → M^{∗}(X ∧ R) null.

(b) Für jedes X ist die Sequenz

0 ⟶ M^{∗}(X ∧ R) ⟶^{(id∧∂)^{∗}} M^{∗}(X ∧ M) ⟶^{(id∧η)^{∗}} M^{∗}(X ∧ R) ⟶ 0

exakt.

Beweis: In 1.3.5 ist (id ∧ ϕ)^{∗} zu ϕ_{∗} : R_{∗}(R) → R_{∗}(R) adjungiert, und im ϕ_{∗} besteht nur aus durch v teilbaren Elementen. a) folgt, da vM^{∗}(X) für jedes X null ist.

b) ist eine unmittelbare Folgerung aus a). □

1.4 Primitive Elemente

Wir kommen nun zur Konstruktion einer Ringspektrenstruktur μ : M ∧ M → M auf M, die mit der R-Modulspektrenstruktur im folgenden Sinne verträglich ist.

(1.4.1) Definition. Eine Ringspektrenstruktur μ : M ∧ M → M heißt zulässig, falls

R ∧ R ∧ M ∧ M ⟶^{id∧T ∧id} R ∧ M ∧ R ∧ M ⟶^{ν∧ν} M ∧ M
id∧id∧μ↓  ^{μ}↓
R ∧ R ∧ M  ⟶^{m∧id}  R ∧ M  ⟶^{ν} M

(1.4.A)

kommutiert und ν = μ(η ∧ id), μ(id ∧ η) = νT ist. (vgl. dazu [W86], 2.3)

Wir können diese Forderung etwas umformulieren. R_{2} := R ∧ R wird mit der Zusammensetzung

R ∧ R ∧ R ∧ R ⟶^{id∧T ∧id} R ∧ R ∧ R ∧ R ⟶^{m∧m} R ∧ R

als Multiplikation m_{2} : R_{2} ∧ R_{2} → R_{2} zu einem Ringspektrum und M ∧ M durch die obere Zeile von 1.4.A zu einem R_{2}-Modulspektrum. Die untere Zeile definiert eine Operation R_{2} ∧ M → M und unter Ausnutzung von (V) kann man nachrechnen, daß M damit zu einem R_{2}-Modulspektrum wird (vgl. 1.5.1).

Setzen wir E = R_{2}, F = M ∧ M und G = M, so sagt die Kommutativität von 1.4.A gerade, daß μ im Sinne der folgenden Definition (E, F, G)-primitiv sein soll.

(1.4.2) Definition. Ist E ein Ringspektrum mit der Multiplikation m_{E} : E ∧ E → E und sind F und G mit den Operationen ν_{F} und ν_{G} E-Modulspektren, so heißt ein α ∈ G^{∗}(F) (E, F, G)-primitiv, falls

E ∧ F ⟶^{ν_{F}} F
id∧α↓  ^{α}↓
E ∧ G ⟶^{ν_{G}} G

kommutiert. Die Menge der (E, F, G)-primitiven Elemente aus G^{∗}(F) bezeichnen wir mit P_{E}(F, G).

Falls G aus dem Zusammenhang klar ist, werden wir es aus der Notation weglassen.

(1.4.3) Anmerkung. Nach dieser Definition ist ein α : F → G also genau dann (E, F, G)-primitiv, wenn es E-linear ist. Wir haben trotzdem die etwas umständlichere Bezeichnung (E, F, G)-primitiv gewählt um mit den Begriffsbildungen von [W77] kompatibel zu bleiben.

In den Bezeichnungen dieses Artikels ist nämlich ein α ∈ h^{∗}(BP ∧ P(n)) genau dann ein primitives Element des (profiniten) h^{∗}(BP ∧ BP)-Comoduls h^{∗}(BP ∧ P(n)), wenn es in P_{BP∧BP}(BP ∧ P(n), h) liegt (vgl. [W77], 4.7, 4.10).

Ist G wie in [W77] eine BP-Modultheorie mit lokal endlichen Koeffizientengruppen und E = BP, F ein BP-Modulspektrum, so hat man nach [W77], Lemma 3.3, einen stetigen natürlichen Isomorphismus

G^{∗}(E) ˆ⊗ G^{∗}(X) ⟶^{≅} G^{∗}(E ∧ X)

der auf Elementartensoren durch ηα⊗β ↦ ν_{G}(α∧β) gegeben ist. (η : BP → G wird in [W77] mit μ_{h} bezeichnet. Man beachte, daß η : E^{∗}(E) → G^{∗}(E) surjektiv ist.) Die Multiplikation m_{E} : E ∧E → E induziert mittels dieser Identifikation auf G^{∗}(E) ein Coprodukt Δ : G^{∗}(E) → G^{∗}(E) ˆ⊗ G^{∗}(E) und ν_{F} : E ∧ F → F eine Cooperation Δ : G^{∗}(F) → G^{∗}(E) ˆ⊗ G^{∗}(F).

G^{∗}(E) wird dadurch zu einer profiniten Coalgebra und G^{∗}(F) zu einem profiniten G^{∗}(E)-Comodul.

Wie man problemlos nachrechnet ist G^{∗} mit der Cooperation Δ̄(α) = η ⊗ α ebenfalls ein G^{∗}(E)- Comodul.

In diesem Setting ist dann P_{E}(F, G) = G^{∗} □_{G^{∗}(E)} G^{∗}(F). Dieses Cotensorprodukt ist ja nach Definition

der Kern von

G^{∗} ˆ⊗_{G^{∗}}G^{∗}(F) ⟶^{Δ̄ ˆ⊗ id−id ˆ⊗ Δ} G^{∗}(E) ˆ⊗_{G^{∗}}G^{∗}(F).

Benutzt man die Identifikation G^{∗} ˆ⊗_{G^{∗}}G^{∗}(F) ≅ G^{∗}(F), ηi ⊗ α ↦ α, so liegt ein α ∈ G^{∗}(F) genau dann in G^{∗} □_{G^{∗}(E)} G^{∗}(F), wenn ν_{G}(id ∧ α) = αν_{F} ist, d.h. wenn es primitiv ist.

Dieses Cotensorprodukt (und seine derivierten Funktoren) kann man bekanntlich mit dem Cobar-Komplex C_{G^{∗}(E)}^{∗}(G^{∗}, G^{∗}(F)) berechnen (vgl. [R], A1.2.11, A1.2.12). Wir schreiben der Kürze halber für diesen Komplex C_{E}^{∗}(F, G).

Es ist

C_{E}^{k}(F, G) = G^{∗}(E) ˆ⊗ ⋯ ˆ⊗ G^{∗}(E) ˆ⊗ G^{∗}(F)

und δ : C_{E}^{∗}(F, G) → C_{E}^{∗+1}(F, G) ist durch

δ(α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{k} ⊗ β) = η ⊗ α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{k} ⊗ β
+ ∑_{i=1}^{k}(−1)^{i}α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{i−1} ⊗ Δ(α_{i}) ⊗ α_{i+1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{k} ⊗ β
+ (−1)^{k+1}α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{k} ⊗ Δ(β)

gegeben.

Die profinite Version von [R], A1.2.12, liefert H^{i}(C_{E}^{∗}(F, G)) = Cotor_{G^{∗}(E)}^{i}(G^{∗}, G^{∗}(F)). Insbesondere ist P_{E}(F, G) = H^{0}(C_{E}^{∗}(F, G)).

Im nun folgenden geben wir eine direktere Konstruktion dieses Komplexes an, die ohne die Voraussetzungen Würgler’s auskommt.

Seien E, F und G wie in 1.4.2 vorausgesetzt. Wir schreiben E_{i} für das i-fache Smash-Produkt E ∧… ∧ E.

Definiere d_{F} : E_{i} ∧ F → E_{i−1} ∧ F durch

d_{F} = (m_{E} ∧ id ∧… ∧ id) − (id ∧ m_{E} ∧ id ∧… ∧ id) + ⋯ +
+(−1)^{i−1}(id ∧… ∧ id ∧ m_{E} ∧ id) + (−1)^{i}(id ∧… ∧ id ∧ ν_{F}).

Wie man unter Zuhilfenahme der Assoziativität von m_{E} und ν_{F} sofort nachrechnet ist

F ⟵^{d_{F}} E ∧ F ⟵^{d_{F}} E ∧ E ∧ F ⟵^{d_{F}} E ∧ E ∧ E ∧ F ⟵^{d_{F}} ⋯,

dann ein Kettenkomplex, d.h. es ist d_{F} d_{F} = 0. Wenden wir G^{∗}(−) auf diesen Kettenkomplex an, so erhalten wir einen Kokettenkomplex

G^{∗}(F) ⟶^{δ_{F}} G^{∗}(E ∧ F) ⟶^{δ_{F}} G^{∗}(E ∧ E ∧ F) ⟶^{δ_{F}} G^{∗}(E ∧ E ∧ E ∧ F) ⟶^{δ_{F}} ⋯

mit δ_{F} = (d_{F})^{∗}.

Die Moduloperation E ∧ G → G definiert außerdem eine natürliche Transformation

G^{∗}(X) ⟶^{δ_{G}} G^{∗}(E ∧ X)

durch δ_{G}(α) = ν_{G}(id∧α). Falls E auf G kommutativ operiert, d.h. falls ν_{G}(m_{E} ∧id) = ν_{G}(m_{E}T ∧id) ist, ist δ_{G} E_{∗}-linear. (Dies zeigt eine einfache Rechnung. Diese Bedingung wird in unseren Anwendungen erfüllt sein. δ_{G} : G^{∗} → G^{∗}(E) induziert im profiniten Kontext die G^{∗}(E)-Comodulstruktur Δ̄ auf G^{∗}, vgl. 1.4.3.)

Setze δ = δ_{G} − δ_{F} : G^{∗}(E_{i} ∧ F) → G^{∗}(E_{i+1} ∧ F) und C_{E}^{i}(F, G) = G^{∗}(E_{i} ∧ F). Für i < 0 sei C_{E}^{i}(F, G) = 0.

(1.4.4) Satz. C_{E}^{∗}(F, G) wird mit dem Differential δ : C_{E}^{∗}(F, G) → C_{E}^{∗+1}(F, G) zu einem Kokettenkomplex.

Dabei ist P_{E}(F, G) = ker [δ : C_{E}^{0}(F, G) → C_{E}^{1}(F, G)] = H^{0}(C_{E}^{∗}(F, G)).

Ist F′ ein weiteres E-Modulspektrum und ψ : F′ → F E-linear, so ist die von (id ∧ … ∧ id ∧ ψ)^{∗} induzierte Abbildung ψ^{•} : C_{E}^{∗}(F′, G) → C_{E}^{∗}(F, G) eine Kokettenabbildung.

Beweis: Wie man leicht nachrechnet ist δ_{F} δ_{G} = δ_{G}δ_{G} − δ_{G}δ_{F}. Deswegen ist δδ = δ_{G}δ_{G} − δ_{G}δ_{F} − δ_{F} δ_{G} + δ_{F} δ_{F} = 0.

Die zweite Behauptung folgt, da δ(α) für α ∈ G^{∗}(F) durch ν_{G}(id ∧ α) − αν_{F} gegeben ist.

Daß ψ^{•} mit δ kommutiert, rechnet man ebenfalls einfach nach. □

In allen von uns im folgenden betrachteten Fällen wird P_{E}(F, G) = H^{0}(C_{E}^{∗}(F, G)) die einzige nichtverschwindende Homologiegruppe von C_{E}^{∗}(F, G) sein. Grundlage dazu ist der folgende Satz.

(1.4.5) Satz. Für jedes Ringspektrum E und jedes E-Modulspektrum G ist H^{i}(C_{E}^{∗}(E, G)) für i > 0 null.

Außerdem ist P_{E}(E, G) = im [δ_{G} : G^{∗} → G^{∗}(E)] ≅ G^{∗}.

Beweis: Wir zeigen, daß der Kokettenkomplex

G^{∗} ⟶^{δ_{G}} G^{∗}(E) ⟶^{δ} G^{∗}(E ∧ E) ⟶^{δ} G^{∗}(E ∧ E ∧ E) ⟶^{δ} ⋯

exakt ist. Tatsächlich können wir eine Nullhomotopie direkt angeben. Definiere dazu H : G^{∗}(E_{i}) → G^{∗}(E_{i−1}) durch H(α) = α(id ∧… ∧ id ∧ i) mit der Einheit i : S → E von E. Kurzes Nachdenken ergibt, daß Hδ_{G}(α) = δ_{G}H(α) und δ_{E}H(α) = ±α + Hδ_{E}(α) ist. Damit ist Hδ − δH = ±id. □

(Mit 1.4.3 erklärt sich dieser Satz daraus, daß H^{i}(C_{E}^{∗}(F, G)) = Cotor_{G^{∗}(E)}^{i}(G^{∗}, G^{∗}(F)) ist. Für F = E verschwinden die höheren derivierten Funktoren, da G^{∗}(E) (trivialerweise) ein erweiterter G^{∗}(E)-Comodul ist.)

Zum Schluß dieses Abschnitts noch ein paar Anmerkungen zum Beweis der Existenz einer R-Modulspektrenstruktur auf M in 1.3.1. Ein hübsches Nebenergebnis ist der Beweis der wesentlichen Eindeutigkeit der Modulspektrenstruktur ν. Diese Anmerkungen sind aber für die weitere Argumentation nicht von Belang und können überlesen werden.

(1.4.6) Anmerkung. Wir können die Komplexe C_{E}^{∗}(F, G) dazu benutzen, die Eindeutigkeit der in Abschnitt 1.3 konstruierten Modulspektrenstruktur ν : R ∧ M → M zu beweisen. Dazu nehmen wir an, daß ν und ν̄ Modulspektrenstrukturen seien, die 1.3.A kommutativ ergänzen. Insbesondere ist ∂ν = ∂ν̄ und ν(id ∧ η) = ν̄(id ∧ η). ν̄ − ν ist damit von der Form γ̄ = (id ∧ ∂)^{∗}(γ) mit γ ∈ M^{∗}(R ∧ R) = C_{R}^{1}(R, M), γ̄ ∈ M^{∗}(R ∧ M) = C_{R}^{1}(M, M).

Wir bilden C_{R}^{∗}(R, M) und C_{R}^{∗}(M, M) mit Bezug auf ν. Damit ist

δ(ν) = ν(id ∧ ν) − ν(m ∧ id) + ν(id ∧ ν)
= ν(id ∧ ν),
δ(ν̄) = ν(id ∧ ν̄) − ν̄(m ∧ id) + ν̄(id ∧ ν)
= ν̄(id ∧ ν̄) − γ̄(id ∧ ν̄) − ν̄(m ∧ id) + ν(id ∧ ν) + γ̄(id ∧ ν)
= ν(id ∧ ν) − γ(id ∧ ∂ν̄) + γ(id ∧ ∂ν)
= ν(id ∧ ν).

Also ist 0 = δ(γ̄) = δ∂^{•}(γ) = ∂^{•}(δ(γ)), sodaß auch δ(γ) = 0 ist, da ∂^{•} injektiv ist. γ ist damit nach 1.4.5 ein Rand: γ = δ(ψ) mit ψ ∈ M^{∗}(R). Da ∂ : M^{∗}(R) → R^{∗}(R) nach 1.2.4c) null ist, ist hierbei ∂ψ = 0. Sei ξ = ∂^{•}ψ ∈ C_{R}^{0}(M, M) = M^{∗}(M). Damit ist δ(ξ) = γ̄ und ∂ξ = ∂∂^{•}(ψ) = ∂^{•}(∂ψ) = 0.

Sei θ = id − ξ ∈ M^{∗}(M). Beachte, daß δ(θ) = −δ(ξ) = −γ̄ ist. Dann ist

ν̄(id ∧ θ) = ν(id ∧ θ) + γ̄(id ∧ θ)
= ν(id ∧ θ) + γ̄ − γ̄(id ∧ ξ)
= ν(id ∧ θ) + γ̄ − γ(id ∧ ∂ξ)

= ν(id ∧ θ) − θν + θν + γ̄
= δ(θ) + θν + γ̄
= −γ̄ + θν + γ̄
= θν.

Bleibt nur noch zu zeigen, daß θ : M → M eine Homotopieäquivalenz ist. Dies folgt mit dem Satz von Whitehead, da ξη = ξ̄∂η = 0 ist, sodaß π_{∗}(θ) : M_{∗} → M_{∗} die Identität ist. Damit ist gezeigt:

(1.4.7) Satz. Je zwei Modulspektrenstrukturen ν, ν̄, die 1.3.A kommutativ ergänzen, sind durch einen Automorphismus θ : M → M miteinander verbunden. Dabei ist θ_{∗} : M_{∗} → M_{∗} die Identität. □

Nun zu den versprochenen Erläuterungen zum Beweis von 1.3.1.

Ist ein ν : R ∧ M → M gewählt, das 1.3.A kommutativ ergänzt, so können wir C_{R}^{∗}(R, M) und C_{R}^{∗}(M, M) formal genau wie eben beschrieben bilden. Diese sind jetzt allerdings keine Kokettenkomplexe, da zum Beweis, daß δ^{2} = 0 ist, die Assoziativität von ν schon benutzt wurde. Dieselbe Nullhomotopie wie in 1.4.5 zeigt aber, daß in der Folge

M^{∗} ⟶^{δ_{M}} M^{∗}(R) ⟶^{δ} M^{∗}(R ∧ R) ⟶^{δ} M^{∗}(R ∧ R ∧ R) ⟶^{δ} ⋯

ker δ ⊂ im δ gilt. Außerdem ist

0 ⟶ C_{R}^{∗}(R, M) ⟶^{∂^{•}} C_{R}^{∗}(M, M) ⟶^{η^{•}} C_{R}^{∗}(R, M) ⟶ 0 (1.4.B)

nach 1.2.4d) exakt. ∂^{•} und η^{•} kommutieren mit den Pseudodifferentialen, da aufgrund der Kommutativität von 1.3.A ν(id ∧ η) = ηm und ∂ν = m(id ∧ ∂) gilt.

Der Beweis von 1.3.1 besteht nun in einer Diagrammjagd in der kurzen exakten Sequenz von Pseudokokettenkomplexen 1.4.B: Der Assoziativitätsdefekt A ∈ C_{R}^{2}(M, M) geht unter η^{•} auf Null, da m assoziativ ist. Das eindeutig bestimmte B ∈ C_{R}^{2}(R, M) mit ∂^{•}(B) = A ist ein Zykel, da ∂^{•}(δ(B)) = δ∂^{•}(B) = δ(A) ist und sich nachrechnen läst, daß δ(A) null ist. Setze C := H(B). C erfüllt δ(C) = B, da wie bereits angemerkt ker δ ⊂ im δ ist. Für γ = ∂^{•}(C) gilt schließlich δ(γ) = δ(∂^{•}(C)) = ∂^{•}(δ(C)) = ∂^{•}(B) = A.

Die letzte Rechnung im Beweis von 1.3.1 zeigt, daß ν̄(id ∧ ν̄) − ν̄(m ∧ id) – bis auf den Störterm γ(id ∧ γ) – durch A − δ(γ) gegeben ist. Es bleibt also nur zu zeigen, daß γ(id ∧ γ) verschwindet und dies folgt leicht aus 1.2.4c). Dabei ergibt sich ∂γ = 0, was überdies nötig ist, wenn ∂ν̄ = m(id ∧ ∂) weiterhin gelten soll.

Schließlich sei bemerkt, daß der Beweis von 1.3.3 ebenfalls als Diagrammjagd verstanden werden kann.

1.5 Konstruktion der Multiplikation auf M

Wir bleiben bei den Bezeichnungen von 1.2.1. ν sei eine verträgliche R-Modulspektrenstruktur auf M. Außerdem sei R_{∗} in geraden Dimensionen konzentriert, sodaß also auch n = |v| gerade ist. Insbesondere ist M_{1} = 0, sodaß nach 1.3.3 ν(ϕ ∧ id) null ist. M^{∗}(−) und M_{∗}(−) sind damit auf natürliche Weise R_{∗}/(v) = M_{∗}-Moduln.

Wir betrachten R_{2} = R ∧ R als Ringspektrum mit der Multiplikation

m_{2} : R ∧ R ∧ R ∧ R ⟶^{id∧T ∧id} R ∧ R ∧ R ∧ R ⟶^{m∧m} R ∧ R

und R_{3} = R ∧R ∧R als Ringspektrum mit der analog definierten Multiplikation m_{3} : R_{3} ∧R_{3} → R_{3}. R ∧ M, M ∧ M und M ∧ R sind R_{2}-Modulspektren und R ∧ R ∧ M, R ∧ M ∧ M, usw. sind R_{3}- Modulspektren.

Wie bereits im letzten Abschnitt skizziert fassen wir auch M selbst als R_{2}- und R_{3}-Modulspektrum auf. Die Operation R ∧ R ∧ M → M ist durch ν(m ∧ id) gegeben, die Operation R ∧ R ∧ R ∧ M → M durch ν(m(m ∧ id) ∧ id).

(1.5.1) Lemma. Diese Operationen definieren R_{2}- bzw. R_{3}-Modulspektrenstrukturen auf M.

δ_{M} : M^{∗}(X) → M^{∗}(R ∧ X) ist M_{∗}-linear. Insbesondere ist P_{(−)}(−, M) immer ein M_{∗}-Modul.

Beweis: Wir zeigen die Behauptung für die R_{2}-Operation. Die Schwierigkeit dabei liegt in der Vertauschung id ∧ T ∧ id, die in der Definition der Multiplikation m_{2} (und analog in m_{3}) enthalten ist.

Wir müssen zeigen, daß ν(mm_{2} ∧ id) = ν(m ∧ ν(m ∧ id)) ist. Die rechte Seite dieser Gleichung lautet nach Anwendnung der Assoziativität ν(id ∧ ν) = ν(m ∧ id)

ν(m ∧ id)(m ∧ m ∧ id),

die linke

ν(m ∧ id)(m ∧ m ∧ id)(id ∧ T ∧ id ∧ id).

Aufgrund der Assoziativität von m ist (m ∧ id)(m ∧ m ∧ id) = (m ∧ id)(m ∧ id ∧ id)(id ∧ m ∧ id ∧ id). Damit schreibt sich die Differenz der beiden Seiten als

ν(m ∧ id)(m ∧ id ∧ id)(id ∧ (m − mT) ∧ id ∧ id).

Nach (V) ist η(m − mT) = 0, sodaß ein A : R ∧ R → R existiert mit m − mT = ϕA. Benutzt man nun, daß m(v ∧ id) = m(id ∧ v) ist (vgl. (V)), so ergibt sich m(ϕ ∧ id) = m(id ∧ ϕ) = ϕm. Für obige Differenz ergibt sich

ν(m ∧ id)(m ∧ id ∧ id)(id ∧ (m − mT) ∧ id ∧ id)
= ν(m ∧ id)(m ∧ id ∧ id)(id ∧ ϕ ∧ id)(id ∧ A ∧ id ∧ id)
= ν(ϕ ∧ id)(m ∧ id)(m ∧ id ∧ id)(id ∧ A ∧ id ∧ id).

Dies ist aber Null, da nach 1.3.3 ν(ϕ ∧ id) = ν(m(v ∧ id) ∧ id) = ν(v ∧ ν) = 0 ist.

Die Linearität von δ_{M} zeigt man ähnlich. □

Wir kommen nun zu den ersten Ergebnissen. Dabei steht durchgängig P_{(−)}(−) für P_{(−)}(−, M) und C_{(−)}^{∗}(−) für C_{(−)}^{∗}(−, M).

(1.5.2) Lemma. C_{R}^{∗}(M), C_{R_{2}}^{∗}(R ∧ M) und C_{R_{2}}^{∗}(M ∧ M) sind in positiven Dimensionen azyklisch und die folgenden Sequenzen sind exakt:

(a)

0 ⟶ P_{R}(R) ⟶^{∂^{•}} P_{R}(M) ⟶^{η^{•}} P_{R}(R) ⟶ 0

(b)

0 ⟶ P_{R_{2}}(R ∧ R) ⟶^{(id∧∂)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ M) ⟶^{(id∧η)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ R) ⟶ 0

(c)

0 ⟶ P_{R_{2}}(R ∧ M) ⟶^{(∂∧id)^{•}} P_{R_{2}}(M ∧ M) ⟶^{(η∧id)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ M) ⟶ 0

Genauso sind auch die entsprechend gebildeten Sequenzen für die R_{3}-Modulspektren R ∧ R ∧ R, R ∧ R ∧ M, etc. exakt.

Beweis: Aus 1.2.4c) und 1.3.6b) ergibt sich unmittelbar die Exaktheit der folgenden Sequenzen von Kokettenkomplexen:

0 ⟶ C_{R}^{∗}(R) ⟶^{∂^{•}} C_{R}^{∗}(M) ⟶^{η^{•}} C_{R}^{∗}(R) ⟶ 0,

0 ⟶ C_{R_{2}}^{∗}(R ∧ R) ⟶^{(id∧∂)^{•}} C_{R_{2}}^{∗}(R ∧ M) ⟶^{(id∧η)^{•}} C_{R_{2}}^{∗}(R ∧ R) ⟶ 0

und

0 ⟶ C_{R_{2}}^{∗}(R ∧ M) ⟶^{(∂∧id)^{•}} C_{R_{2}}^{∗}(M ∧ M) ⟶^{(η∧id)^{•}} C_{R_{2}}^{∗}(R ∧ M) ⟶ 0.

Nach 1.4.5 sind C_{R}^{∗}(R) und C_{R_{2}}^{∗}(R ∧ R) in positiven Dimensionen azyklisch. Betrachtet man die zugehörigen langen exakten Homologiesequenzen, so sieht man, daß dasselbe auch für die anderen beteiligten Kokettenkomplexe gilt.

Die langen exakten Homologiesequenzen reduzieren sich also auf kurze exakte Sequenzen der nullten Homologiegruppen und dies sind gerade a), b) und c).

Für R_{3}-Modulspektren argumentiert man genauso. □

Sei Q := η∂ ∈ M^{∗}(M). Da Qν = η∂ν = ηm(id ∧ ∂) = ν(id ∧ η∂) = ν(id ∧ Q) ist, ist Q ∈ P_{R}(M). Mit ⟨a_{1}, a_{2},…, a_{k}⟩ bezeichnen wir einen freien M_{∗}-Modul mit Basis a_{1}, a_{2},…, a_{k}.

Es folgt aus 1.4.5, daß

P_{R}(R) = ⟨η⟩, P_{R_{2}}(R ∧ R) = ⟨ηm⟩ und P_{R_{3}}(R ∧ R ∧ R) = ⟨ηm(m ∧ id)⟩

ist.

Da in 1.5.2a) beide Randterme frei sind, spaltet diese Sequenz auf und P_{R}(M) ist ebenfalls frei. Da ∂^{•}(η) = Q und η^{•}(id) = η ist, bilden id und Q eine Basis von P_{R}(M). Es ist also

P_{R}(M) = ⟨id, Q⟩.

Wie in 1.5.1 überlegt man sich, daß ν ∈ M^{∗}(R ∧ M) und νT ∈ M^{∗}(M ∧ R) primitiv sind. Aus (id ∧ ∂)^{•}(ηm) = ν(id ∧ Q) und (id ∧ η)^{•}(ν) = ηm folgt also

P_{R_{2}}(R ∧ M) = ⟨ν, ν(id ∧ Q)⟩.

Genauso zeigt man

P_{R_{2}}(M ∧ R) = ⟨νT, νT (Q ∧ id)⟩.

Wir betrachten schließlich das folgende Diagramm:

P_{R_{2}}(R ∧ R) ⟶^{(id∧∂)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ M) ⟶^{(id∧η)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ R)
(∂∧id)^{•}↓  ^{(∂∧id)^{•}}↓  ^{(∂∧id)^{•}}↓
P_{R_{2}}(M ∧ R) ⟶^{(id∧∂)^{•}} P_{R_{2}}(M ∧ M) ⟶^{(id∧η)^{•}} P_{R_{2}}(M ∧ R)
(η∧id)^{•}↓  ^{(η∧id)^{•}}↓  ^{(η∧id)^{•}}↓
P_{R_{2}}(R ∧ R) ⟶^{(id∧∂)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ M) ⟶^{(id∧η)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ R)

(1.5.A)

Hier sind alle Zeilen und Spalten nach 1.5.2 kurze exakte Sequenzen. Eine einfache Diagrammjagd ergibt deswegen den (1.5.3) Satz. Sei M = coker [(∂ ∧ ∂)^{•} : P_{R_{2}}(R ∧ R) → P_{R_{2}}(M ∧ M)]. Dann ist das von 1.5.A induzierte Diagramm

M  ⟶ P_{R_{2}}(M ∧ R)
↓  ^{(η∧id)^{•}}↓
P_{R_{2}}(R ∧ M) ⟶^{(id∧η)^{•}} P_{R_{2}}(R ∧ R)

ein Pullback-Diagramm. □

(1.5.4) Corollar. Es existiert ein μ ∈ P_{R_{2}}(M ∧ M) mit μ(η ∧ id) = ν und μ(id ∧ η) = νT.

Es ist P_{R_{2}}(M ∧ M) = ⟨μ, μ(Q ∧ id), μ(id ∧ Q), μ(Q ∧ Q)⟩.

Die Menge aller μ̄ ∈ P_{R_{2}}(M ∧ M) mit μ̄(η ∧ id) = ν und μ̄(id ∧ η) = νT ist { μ + λμ(Q ∧ Q) | λ ∈ M^{−2n−2}}, wobei n = |v|.

Außerdem ist μT ebenfalls primitiv.

Beweis: Die Existenz eines solchen μ folgt aus 1.5.3, da ν(id ∧ η) = ηm = ηmT = νT (η ∧ id) ist.

Aus 1.5.2c) zeigt man wie oben, daß μ, μ(id∧Q), (∂ ∧ id)^{•}(ν) = ν(∂ ∧id) und (∂ ∧ id)^{•}(ν(id∧Q)) = ν(∂ ∧ Q) eine Basis von P_{R_{2}}(M ∧ M) bilden. Wir zeigen, daß ν(∂ ∧ id) = μ(Q ∧ id) ist. Daraus folgt unmittelbar, daß auch ν(∂ ∧ Q) = μ(Q ∧ Q) ist.

Es existiert eine Darstellung

μ(Q ∧ id) = λ_{0}μ + λ_{1}μ(id ∧ Q) + λ_{2}ν(∂ ∧ id) + λ_{3}ν(∂ ∧ Q).

Hier ist |λ_{0}| = |λ_{3}| = −n − 1 ungerade, also λ_{0} = λ_{3} = 0.

Wir wenden darauf (η ∧ id)^{•} an und erhalten 0 = λ_{1}ν(id ∧ Q), also λ_{1} = 0. Anwendung von (id ∧ η)^{•}(μ(Q ∧ id)) ergibt νT (Q ∧ id) = λ_{2}ν(∂ ∧ η). Da ν(∂ ∧ η) = ηm(∂ ∧ id) = ηmT (id ∧ ∂) = ηm(id ∧ ∂)T = ν(id ∧ Q)T = νT (Q ∧ id) ist, ist λ_{2} = 1. (Hierbei wurde von (V) gebraucht gemacht.)

Die Unbestimmtheit von μ ergibt sich nun aus (∂ ∧ ∂)^{•}(ηm) = ν(∂ ∧ Q) = μ(Q ∧ Q) mit 1.5.3. Der Grad von λ ergibt sich schließlich aus |Q| = n + 1.

Daß μT primitiv ist, ergibt sich aus (V) mit ähnlichen Argumenten wie in 1.5.1. □

(1.5.5) Lemma. Es ist Qμ = μ(Q ∧ id) + μ(id ∧ Q).

Beweis: Qμ ist wie man sich leicht überlegt primitiv. Qμ läst sich also durch die eben gefundene Basis ausdrücken. Dabei sind die Koeffizienten von μ und μ(Q ∧ Q) null, da sie den Grad −n − 1 haben und M^{−n−1} = 0 ist. Die Koeffizienten von μ(Q ∧ id) und μ(id ∧ Q) bestimmt man durch Anwenden von (η ∧ id)^{•} und (id ∧ η)^{•}. □

Wir zeigen als nächstes:

(1.5.6) Lemma. Sei μ wie in 1.5.4. Dann sind μ(μ ∧ id), μ(id ∧ μ) ∈ M^{∗}(M ∧ M ∧ M) primitiv. (Genauer: (R_{3}, M ∧ M ∧ M, M)-primitiv.)

Beweis: Wir zeigen die Behauptung für μ(id ∧ μ), der andere Fall geht genauso.

Da μ primitiv ist, kommutiert das Diagramm

R ∧ R ∧ M ∧ M ⟶^{id∧T ∧id} R ∧ M ∧ R ∧ M ⟶^{ν∧ν} M ∧ M
id∧id∧μ↓  ^{μ}↓
R ∧ R ∧ M  ⟶^{m∧id}  R ∧ M  ⟶^{ν} M.

Gefordert ist die Kommutativität von

R ∧ R ∧ R ∧ M ∧ M ∧ M ⟶^{vertauschen} R ∧ M ∧ R ∧ M ∧ R ∧ M ⟶^{ν∧ν∧ν} M ∧ M ∧ M
id∧id∧id∧μ(id∧μ)↓  ^{μ(id∧μ)}↓
R ∧ R ∧ R ∧ M  ⟶^{m(id∧m)∧id}  R ∧ M  ⟶^{ν}  M.

Dazu betrachtet man das Diagramm

M  ⟵^{μ(ν∧id)}  R ∧ M ∧ M  ⟵^{id∧id∧μ}  R ∧ M ∧ M ∧ M
ν(m∧μ)↑  ^{id∧id∧ν}↑  ^{id∧id∧ν∧ν}↑
R ∧ R ∧ M ∧ M  ⟶^{id∧T ∧id}  R ∧ M ∧ R ∧ M  R ∧ M ∧ R ∧ M ∧ R ∧ M
id∧m∧id∧μ↑  ^{id∧id∧m∧μ}↑  ^{id∧id∧id∧T ∧id}↑
R ∧ R ∧ R ∧ M ∧ M ∧ M ⟶^{vertauschen} R ∧ M ∧ R ∧ R ∧ M ∧ M  R ∧ M ∧ R ∧ R ∧ M ∧ M

Das obere linke und das rechte Rechteck kommutieren dabei aufgrund der Primitivität von μ, das linke untere bei geeigneter Wahl der Vertauschungsabbildung. Die Primitivität von μ(id ∧ μ) ergibt sich wenn man noch beachtet, daß die obere Kante dieses Diagramms gerade μ(id ∧ μ)(ν ∧ id ∧ id) ist. □

Benutzt man nun die exakten Sequenzen

0 → P_{R_{3}}(R ∧ R ∧ R) ⟶^{(id∧id∧∂)^{•}} P_{R_{3}}(R ∧ R ∧ M) ⟶^{(id∧id∧η)^{•}} P_{R_{3}}(R ∧ R ∧ R) → 0,
0 → P_{R_{3}}(R ∧ R ∧ M) ⟶^{(id∧∂∧id)^{•}} P_{R_{3}}(R ∧ M ∧ M) ⟶^{(id∧η∧id)^{•}} P_{R_{3}}(R ∧ R ∧ M) → 0

und

0 → P_{R_{3}}(R ∧ M ∧ M) ⟶^{(∂∧id∧id)^{•}} P_{R_{3}}(M ∧ M ∧ M) ⟶^{(η∧id∧id)^{•}} P_{R_{3}}(R ∧ M ∧ M) → 0

so ergibt sich wie oben

(1.5.7) Lemma. Es ist P_{R_{3}}(M ∧ M ∧ M) = ⟨μ(id ∧ μ), μ(Q ∧ μ), μ(id ∧ μ(Q ∧ id)), μ(id ∧ μ(id ∧ Q)), μ(Q ∧ μ(Q ∧ id)), μ(Q ∧ μ(id ∧ Q)), μ(id ∧ μ(Q ∧ Q)), μ(Q ∧ μ(Q ∧ Q))⟩. □

Wir betrachten den Assoziativitätsdefekt Δ = μ(id ∧ μ) − μ(μ ∧ id).

(1.5.8) Lemma. Δ geht bei folgenden Abbildungen auf Null:

(a) (η ∧ id ∧ id)^{∗} : M^{∗}(M ∧ M ∧ M) → M^{∗}(R ∧ M ∧ M).

(b) (id ∧ η ∧ id)^{∗} : M^{∗}(M ∧ M ∧ M) → M^{∗}(M ∧ R ∧ M).

(c) (id ∧ id ∧ η)^{∗} : M^{∗}(M ∧ M ∧ M) → M^{∗}(M ∧ M ∧ R).

Beweis: Benutzt man μ(η ∧ id) = ν und μ(id ∧ η) = νT, so rechnet man nach, daß Δ bei diesen Abbildungen auf ν(id ∧ μ) − μ(ν ∧ id), μ(id ∧ ν) − μ(νT ∧ id) bzw. μ(id ∧ νT) − νT (μ ∧ id) abgebildet wird. Bleibt also zu zeigen, daß diese Terme verschwinden. Dazu benutzt man die Primitivität von μ. Diese besagt

μ(ν ∧ ν)(id ∧ T ∧ id) = ν(m ∧ μ).

Schaltet man hier id ∧ i ∧ id ∧ id davor, so ergibt die linke Seite μ(ν ∧ id) und die rechte ν(id ∧ μ), woraus das Verschwinden des ersten Terms folgt.

Das Verschwinden des dritten Terms ergibt sich analog bei Davorschalten von i ∧ id ∧ id ∧ id und der Vertauschungsabbildung (T ∧ id)(id ∧ T). Daß auch der zweite Term null ist, ergibt sich dann durch Kombination: μ(id∧ν) = μ(id∧νT)(id∧T) = νT (μ∧id)(id∧T) = ν(id∧μ)(T ∧id)(id∧T)(id∧T) = ν(id ∧ μ)(T ∧ id) = μ(ν ∧ id)(T ∧ id) = μ(νT ∧ id). □

Damit gilt:

(1.5.9) Corollar. Jedes zulässige Produkt μ : M ∧ M → M ist assoziativ.

Beweis: Wir können Δ als M^{∗}-Linearkombination der in 1.5.7 angegebenen Basiselemente von P_{R_{3}}(M ∧ M ∧ M) schreiben. Wendet man die drei Abbildungen aus 1.5.8 auf diese Darstellung an, so sieht man, daß alle Koeffizienten bis evtl. auf den von μ(Q∧μ(Q∧Q)) Null sind. Dieser Koeffizient ist aus M^{−3n−3}, da |Q| = n + 1 ist. Nach Voraussetzung ist aber M^{−3n−3} = 0. □

Wir halten die Ergebnisse dieses Abschnitts in folgendem Satz fest:

(1.5.10) Satz. Seien R und v wie in 1.2.1 und ν : R ∧ M → M eine verträgliche R-Modulspektren-struktur auf M. Für ungerade k sei R^{k} = 0. Dann gilt:

Es existiert ein zulässiges Produkt μ : M ∧ M → M. Die Menge aller zulässigen Produkte ist

{ μ + λμ(Q ∧ Q) | λ ∈ M^{−2n−2} }.

Jedes solche Produkt ist assoziativ. Mit μ ist auch μT zulässig. □

1.6 Die Algebrenstruktur von M_{∗}(M)

Wir bestimmen in diesem Abschnitt — so weit das allgemein möglich ist — die Algebrenstruktur von M_{∗}(M). Die Beweise aus [K-W] übertragen sich unmittelbar.

(1.6.1) Lemma. μ : M ∧ M → M sei ein zulässiges Produkt. Dann gilt:

(a) Es existiert ein λ ∈ M^{∗} sodaß μT = μ+λμ(Q∧Q) ist. Dieses λ ist von der Wahl des Produkts μ unabhängig.

(b) Für alle x ∈ M^{∗} ist μ(x ∧ id) = μ(id ∧ x).

Beweis: Daß sich μT in der Form μ + λμ(Q ∧ Q) schreiben läßt ist schon in 1.5.10 festgestellt worden. Ist μ̃ ein zweites zulässiges Produkt, so ist — wiederum nach 1.5.10 — μ̃ = μ + ρμ(Q ∧ Q) mit ρ ∈ M^{∗}. Dann ist

μ̃T = μT + ρμ(Q ∧ Q)T
= μ + λμ(Q ∧ Q) + ρμT (Q ∧ Q)
= μ + ρμ(Q ∧ Q) + ρλμ(Q ∧ Q)(Q ∧ Q) + λμ(Q ∧ Q)
= μ + ρμ(Q ∧ Q) + λμ(Q ∧ Q)
= μ̃ + λμ(Q ∧ Q)
= μ̃ + λμ̃(Q ∧ Q),

woraus die Eindeutigkeit λ’s folgt. (λμ(Q ∧ Q) = λμ̃(Q ∧ Q) gilt wegen QQ = 0.)

b) ergibt sich aufgrund der Surjektivität von η : R_{∗} → M_{∗}. x ist deswegen nämlich von der Form ηx̃, x̃ ∈ R_{∗}, und wegen Qη = 0 ist

μ(x ∧ id) = μT (id ∧ x)
= μ(id ∧ x) + λμ(Q ∧ Qηx̃)
= μ(id ∧ x)
□

Wir betrachten nun die beiden kurzen exakten Sequenzen

0 ⟶ R_{∗}(R) ⟶^{ϕ=·v} R_{∗}(R) ⟶^{η} M_{∗}(R) ⟶ 0

und

0 ⟶ M_{∗}(R) ⟶^{η_{∗}} M_{∗}(M) ⟶^{∂_{∗}} M_{∗}(R) ⟶ 0.

Dabei ist die erste Sequenz exakt weil ϕ Multiplikation mit dem Nichtnullteiler v induziert und R_{∗}(R) nach (I) frei ist. Die Exaktheit der zweiten Sequenz ergibt sich aus der Surjektivität von η : R_{∗}(R) → M_{∗}(R) mit 1.2.3 und der Invarianz von v: demnach ist nämlich im ϕ_{∗} : R_{∗}(R) → R_{∗}(R) ⊂ im ϕ : R_{∗}(R) → R_{∗}(R), sodaß ϕ_{∗} : M_{∗}(R) → M_{∗}(R) wegen im ϕ_{∗}η = im ηϕ_{∗} ⊂ im ηϕ = {0} null ist.

Aus der ersten Sequenz folgt sofort, daß M_{∗}(R) = R_{∗}(R)/(v) ist. Aus der zweiten erhalten wir die Existenz eines α ∈ M_{∗}(M) mit ∂_{∗}(α) = 1. Wir nehmen an, daß eine Multiplikation μ : M ∧ M → M fest gewählt sei. Wie in [K-W], Lemma 2.3, erhält man für x, y ∈ M_{∗}(M)

y · x − x · y = λ(Q(x)Q(y) − Q_{∗}(x)Q_{∗}(y)).

Daraus folgt zunächst, daß α mit allen Elementen des Bildes η_{∗} : M_{∗}(R) → M_{∗}(M) kommutiert. Da η : R_{∗}(R) → M_{∗}(R) surjektiv ist, läßt sich nämlich jedes Element y dieses Bildes als y = η(η_{∗}(ȳ)) = η_{∗}(η(ȳ)) mit ȳ ∈ R_{∗}(R) schreiben. Damit sind Q(y) = η∂η(η_{∗}(ȳ)) und Q_{∗}(y) = η_{∗}∂_{∗}η_{∗}(η(ȳ)) beide null und der Kommutator αy − yα verschwindet.

Als nächstes zeigen wir, daß M_{∗}(M) = η_{∗}(M_{∗}(R)) ⊕ α · η_{∗}(M_{∗}(R)) ist. Dazu reicht es zu zeigen daß

M_{∗}(R) ∋ x ↦ α · η_{∗}(x) ∈ M_{∗}(M)

ein Schnitt von ∂_{∗} : M_{∗}(M) → M_{∗}(R) ist, d.h. daß ∂_{∗}(α · η_{∗}(x)) = x ist. Aufgrund der Injektivität von η_{∗} reicht es zu zeigen, daß η_{∗}(∂_{∗}(α · η_{∗}(x))) = Q_{∗}(α · η_{∗}(x)) = η_{∗}(x) ist. Dies gilt, da Q_{∗} eine Derivation ist, die auf im η_{∗} verschwindet, wenn man beachtet, daß Q_{∗}(α) = 1 ist. Damit ist gezeigt:

(1.6.2) Satz. Die durch das Pontrjagin-Produkt definierte Algebrenstruktur auf M_{∗}(M) ist kommutativ.

Es existiert ein α ∈ M_{∗}(M) mit Q_{∗}(α) = 1. Nach Wahl eines solchen α’s ist

M_{∗}(M) = M_{∗}(R) ⊕ αM_{∗}(R),

wobei M_{∗}(R) für das Bild von η_{∗} : M_{∗}(R) → M_{∗}(M) steht. □

Schließlich gilt noch:

(1.6.3) Lemma. Ist μ ein zulässiges Produkt auf M, so ist der Kroneckerhomomorphismus

M^{∗}(M) ⟶^{κ} Hom_{M_{∗}}(M_{∗}(M), M^{∗})

ein Isomorphismus.

Beweis: Da die Sequenz

0 ⟶ M_{∗}(R) ⟶^{η_{∗}} M_{∗}(M) ⟶^{∂_{∗}} M_{∗}(R) ⟶ 0

aufspaltet, ist die Sequenz

0 ← Hom_{M_{∗}}(M_{∗}(R), M^{∗}) ⟵^{(η_{∗})^{t}} Hom_{M_{∗}}(M_{∗}(M), M^{∗}) ⟵^{(∂_{∗})^{t}} Hom_{M_{∗}}(M_{∗}(R), M^{∗}) ← 0

exakt. Da wegen M_{∗}(R) = R_{∗}(R)/(v) und M_{∗} = R_{∗}/(v)

Hom_{R_{∗}}(R_{∗}(R), M^{∗}) = Hom_{M_{∗}}(M_{∗}(R), M^{∗})

ist, ist der Kroneckerhomomorphismus

M^{∗}(R) ⟶^{κ} Hom_{M_{∗}}(M_{∗}(R), M^{∗})

nach 1.3.5 ein Isomorphismus. Die Natürlichkeit des Kroneckerhomomorphismus liefert dann zusammen mit dem Fünferlemma die Behauptung. □

Da M_{∗}(M) frei ist, sind die üblichen Strukturabbildungen η_{L}, η_{R}, ϵ, c und Δ definiert. Für diese gilt:

(1.6.4) Satz. Sei μT = μ + λμ(Q ∧ Q), λ ∈ M^{∗}. Dann gilt:

(a) η_{L}, η_{R}, und c sind multiplikativ.

(b) Für alle x, y ∈ M_{∗}(M) ist

ϵ(xy) = ϵ(x)ϵ(y) + λϵ(Q_{∗}(x))ϵ(Qy).

(c) Für alle x, y ∈ M_{∗}(M) ist

Δ(xy) = Δ(x)Δ(y) − Υ_{λ}[(id ⊗ Q)Δ(x)][(Q_{∗} ⊗ id)Δ(y)].

Hierbei ist Υ_{λ}(x ⊗ y) = xη_{R}(λ) ⊗ y = x ⊗ η_{L}(λ)y.

Beweis: a) ist unproblematisch und bleibt dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.

Für b) erinnert man sich, daß das Pontrjagin-Produkt xy nach Definition von der Zusammensetzung

S ≅ S ∧ S ⟶^{x∧y} M ∧ M ∧ M ∧ M ⟶^{id∧T ∧id} M ∧ M ∧ M ∧ M ⟶^{μ∧μ} M ∧ M

repräsentiert wird. Damit ist

ϵ(xy) = μ(μ ∧ μ)(id ∧ T ∧ id)(x ∧ y)
= μ(μ ∧ id)(id ∧ μ ∧ id)(id ∧ T ∧ id)(x ∧ y)
= μ(μ ∧ id)(id ∧ μT ∧ id)(x ∧ y)
= μ(μ ∧ id)(id ∧ μ ∧ id)(x ∧ y) + μ(μ ∧ id)(id ∧ λμ(Q ∧ Q) ∧ id)(x ∧ y)
= μ(μ ∧ id)(id ∧ μ ∧ id)(x ∧ y) + λμ(μ ∧ id)(id ∧ μ(Q ∧ Q) ∧ id)(x ∧ y)
= μ(μ ∧ μ)(x ∧ y) + λμ(μ ∧ μ)((id ∧ Q)x ∧ (Q ∧ id)y)
= ϵ(x)ϵ(y) + λϵ(Q_{∗}(x))ϵ(Q(y)).

Hierbei wurde in der 5.ten Zeile 1.6.1b) dazu benutzt, λ nach vorne zu ziehen.

Um c) zu zeigen, erinnern wir daran, daß das Coprodukt Δ : M_{∗}(M) → M_{∗}(M) ⊗_{M_{∗}} M_{∗}(M) als Zusammensetzung von

Δ̄ : M_{∗}(M) = π_{∗}(M ∧ M) ≅ π_{∗}(M ∧ S ∧ M) ⟶^{π_{∗}(id∧i∧id)} π_{∗}(M ∧ M ∧ M) = M_{∗}(M ∧ M)

mit dem Inversen des Isomorphismus

χ : M_{∗}(M) ⊗_{M_{∗}} M_{∗}(M) ∋ x ⊗ y ↦ (id ∧ μ ∧ id)(x ∧ y) ∈ M_{∗}(M ∧ M)

definiert ist.

Ist Θ_{λ} : π_{∗}(M ∧ M ∧ M) → π_{∗}(M ∧ M ∧ M) von der Multiplikation mit λ auf dem mittleren Smash-Produkt-Faktor induziert, so ist χ(Υ_{λ}z) = Θ_{λ}χ(z). Für z = x⊗y, x, y ∈ M_{∗}(M), ist nämlich

χ(Υ_{λ}z) = χ(xη_{R}(λ) ⊗ y) = (id ∧ μ ∧ id)(id ∧ ϕ_{λ} ∧ id ∧ id)(x ∧ y)

mit der Multiplikationsabbildung ϕ_{λ} = μ(id ∧ λ) = μ(λ ∧ id) : M → M. Wegen μ(ϕ_{λ} ∧ id) = ϕ_{λ}μ ist dies gerade (id ∧ ϕ_{λ} ∧ id)χ(x ⊗ y).

Zunächst ist Δ̄ multiplikativ, wenn man auf π_{∗}(M ∧M ∧M) = π_{∗}(M_{3}) die in Abschnitt 1.4 betrachtete Multiplikation M_{3} ∧ M_{3} → M_{3} zugrundelegt. Dies folgt aus der Kommutativität des folgenden Diagramms, in dem die mit ”vertauschen“ bezeichneten Abbildungen die in der Definition der Multiplikationen M_{3} ∧ M_{3} → M_{3} bzw. M_{2} ∧ M_{2} → M_{2} auftretenden sind:

M ∧ M ∧ M ∧ M ∧ M ∧ M ⟶^{vertauschen} M ∧ M ∧ M ∧ M ∧ M ∧ M ⟶^{μ∧μ∧μ} M ∧ M ∧ M
id∧i∧id∧id∧i∧id↑  ^{id∧id∧i∧i∧id∧id}↑  ^{id∧i∧id}↑
M ∧ S ∧ M ∧ M ∧ S ∧ M ⟶^{vertauschen} M ∧ M ∧ S ∧ S ∧ M ∧ M ⟶^{μ∧μ_{S}∧μ} M ∧ S ∧ M
≅↑  ≅↑  ≅↑
M ∧ M ∧ M ∧ M  ⟶^{vertauschen}  M ∧ M ∧ M ∧ M  ⟶^{μ∧μ} M ∧ M

Wir werden zeigen, daß für a, b ∈ M_{∗}(M) ⊗_{M_{∗}} M_{∗}(M)

χ(ab) = χ(a)χ(b) + Θ_{λ}χ [(id ⊗ Q)a] χ [(Q_{∗} ⊗ id)b] (1.6.A)

gilt. Damit können wir die behauptete Formel für das Coprodukt nachrechen. Zu zeigen ist, daß

χ (Δ(a)Δ(b) − Υ_{λ}(id ⊗ Q)Δ(a)(Q_{∗} ⊗ id)Δ(b)) = Δ̄(ab)

ist. Mit 1.6.A und der Multiplikativität von Δ̄ erhält man dies wie folgt:

χ (Δ(a)Δ(b) − Υ_{λ}(id ⊗ Q)Δ(a)(Q_{∗} ⊗ id)Δ(b))
= χ (Δ(a)Δ(b))
−Θ_{λ}χ ((id ⊗ Q)Δ(a)(Q_{∗} ⊗ id)Δ(b))
= χ(Δ(a))χ(Δ(b))
+Θ_{λ}χ((id ⊗ Q)Δ(a))χ((Q_{∗} ⊗ id)Δ(b))
−Θ_{λ}χ((id ⊗ Q)Δ(a))χ((Q_{∗} ⊗ id)Δ(b))
−Θ_{λ}^{2}χ((id ⊗ Q)(id ⊗ Q)Δ(a))χ((Q_{∗} ⊗ id)(Q_{∗} ⊗ id)Δ(b))
= χ(Δ(a))χ(Δ(b))  (da (id ⊗ Q)^{2} = (Q_{∗} ⊗ id)^{2} = 0)
= Δ̄(a)Δ̄(b)
= Δ̄(ab).

Wir müssen also nur noch 1.6.A herleiten. Dazu dürfen wir annehmen, daß a und b Elementartensoren sind: a = x ⊗ y, b = x′ ⊗ y′ mit x, x′, y, y′ ∈ M_{∗}(M).

Nach Definition der Multiplikation auf M_{∗}(M) ⊗_{M_{∗}} M_{∗}(M) ist ab = (−1)^{|x′y|}xx′ ⊗ yy′. χ(ab) wird dann von der Zusammensetzung

S
x∧y∧x′∧y′↓
M_{a} ∧ M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{d} ∧ M_{e} ∧ M_{f} ∧ M_{g} ∧ M_{h}
vertauschen↓
M_{a} ∧ M_{e} ∧ M_{b} ∧ M_{f} ∧ M_{c} ∧ M_{g} ∧ M_{d} ∧ M_{h}
μ∧μ∧μ∧μ↓
M_{ae} ∧ M_{bf} ∧ M_{cg} ∧ M_{dh}
id∧μ∧id↓
M_{ae} ∧ M_{bfcg} ∧ M_{dh}

repräsentiert. (Hier sind die Stellen mit lateinischen Indizes versehen um die involvierten Permutationen und Multiplikationen kenntlich zu machen.) Wir vergleichen dies mit χ(a)χ(b), d.h. mit der Zusammensetzung

S
x∧y∧x′∧y′↓
M_{a} ∧ M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{d} ∧ M_{e} ∧ M_{f} ∧ M_{g} ∧ M_{h}
id∧μ∧id∧id∧μ∧id↓
M_{a} ∧ M_{bc} ∧ M_{d} ∧ M_{e} ∧ M_{fg} ∧ M_{h}
Mult. auf M_{3}↓
M_{ae} ∧ M_{bcfg} ∧ M_{dh}

Man sieht, daß beide Zusammensetzungen auf den mit ”a“, ”e“, ”d“ und ”h“ bezeichneten Stellen identisch sind und daß diese Stellen unabhängig von ”b“, ”c“, ”f” und ”g“ abgebildet werden. Wir konzentrieren uns daher auf letztere und betrachten das folgende kommutative Diagramm, in dem die linke Spalte der Definition von χ(ab) entnommen ist:

M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}
id∧T ∧id↓  ^{id∧T ∧id}↓  ^{id}↓
M_{b} ∧ M_{f} ∧ M_{c} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{f} ∧ M_{c} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}
μ∧μ↓  ^{id∧μ∧id}↓  ↓^{id∧[μ+ϕ_{λ}μ(Q∧Q)]∧id}
M_{bf} ∧ M_{cg}  M_{b} ∧ M_{fc} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{cf+λQ(c)Q(f)} ∧ M_{g}
μ↓  ^{μ(μ∧id)}↓  ^{μ(μ∧id)}↓
M_{bfcg}  M_{bfcg}  M_{bcfg+λbQ(c)Q(f)g}

Rechts schließt man die Summe der beiden folgenden kommutativen Diagramme an:

M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}
id↓  ^{id}↓
M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}
id∧μ∧id↓  ^{μ∧μ}↓
M_{b} ∧ M_{cf} ∧ M_{g}  M_{bc} ∧ M_{fg}
μ(μ∧id)↓  ^{μ}↓
M_{bcfg}  M_{bcfg}

und M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}

id↓  ^{id∧Q∧Q∧id}↓
M_{b} ∧ M_{c} ∧ M_{f} ∧ M_{g}  M_{b} ∧ M_{Q(c)} ∧ M_{Q(f)} ∧ M_{g}
id∧ϕ_{λ}μ(Q∧Q)∧id↓  ^{μ∧μ}↓
M_{b} ∧ M_{λQ(c)Q(f)} ∧ M_{g}  M_{bQ(c)} ∧ M_{Q(f)g}
μ(μ∧id)↓  ^{ϕ_{λ}μ}↓
M_{b(λQ(c)Q(f))g}  M_{λbQ(c)Q(f)g}

Die rechten Spalten ergeben gerade (die betrachteten Ausschnitte) von χ(a)χ(b) bzw. Θ_{λ}χ[(id ⊗ Q)a]χ[(Q_{∗} ⊗ id)b], sodaß 1.6.A folgt. □

1.6.4b) zeigt, daß das Kroneckerdual ϵ des multiplikativen Morphismus id : M → M nicht selber multiplikativ ist. Die aus dem kommutativen Fall vertraute Korrespondenz (vgl. z.B. [W86], Lemma (2.7)).

multiplikative Morphismen X → E ↔ E_{∗}-Algebrenhomomorphismen E_{∗}(X) → E_{∗}

für Ringspektren E, X mit Kroneckerdualität E^{∗}(X ∧ X) ≅ Hom_{E_{∗}}(E_{∗}(X ∧ X), E^{∗}) stimmt also für ein nichtkommutatives Ringspektrum E evtl. nicht. Zur Klärung und zum späteren Gebrauch zeigen wir deswegen noch den

(1.6.5) Satz. Seien E und X Ringspektren und der Kroneckerhomomorphismus

E^{∗}(X ∧ X) → Hom_{E_{∗}}(E_{∗}(X ∧ X), E^{∗})

ein Isomorphismus. Weiter sei E_{∗}(X) als E_{∗}-Modul flach. Dann ist ein θ : X → E genau dann multiplikativ, wenn für alle x, y ∈ E_{∗}(X)

ϵ(θ_{∗}(x)θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(xy))

ist. (ϵ : E_{∗}(E) → E ist dabei die Augmentation).

Beweis: μ_{E} bzw. μ_{X} seien die Multiplikationen auf E bzw. X. θ : X → E heißt multiplikativ, falls θμ_{X} = μ_{E}(θ ∧ θ) : X ∧ X → E ist. Aufgrund der vorausgesetzten Dualität

E^{∗}(X ∧ X) ≅ Hom_{E_{∗}}(E_{∗}(X ∧ X), E^{∗})

ist dies zu

ϵ((θμ_{X})_{∗}(z)) = ϵ((μ_{E}(θ ∧ θ))_{∗}(z)) für alle z ∈ E_{∗}(X ∧ X)

äquivalent. Wir benutzen, daß das äußere Homologieprodukt

E_{∗}(X) ⊗_{E_{∗}} E_{∗}(Y) ⟶^{\underline{∧}} E_{∗}(X ∧ Y)

für jedes Y ein Isomorphismus ist, da E_{∗}(X) E_{∗}-flach ist. Damit ist also E_{∗}(X ∧ X) ≅ E_{∗}(X) ⊗_{E_{∗}} E_{∗}(X). θ ist also genau dann multiplikativ, wenn für alle x, y aus E_{∗}(X)

ϵ((θμ_{X})_{∗}(x \underline{∧} y)) = ϵ((μ_{E}(θ ∧ θ))_{∗}(x \underline{∧} y)) (1.6.B)

ist.

Nach Definition des Pontrjagin-Produkts in E_{∗}(X) ist xy = (μ_{X})_{∗}(x \underline{∧} y). Die linke Seite von 1.6.B ist also gerade ϵ(θ_{∗}(xy)).

Wir benutzen weiter, daß (θ ∧ θ)_{∗}(x \underline{∧} y) = θ_{∗}(x) \underline{∧} θ_{∗}(y) ist. Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm

S ≅ S ∧ S ⟶^{x∧y} E ∧ X ∧ E ∧ X ⟶^{id∧T ∧id} E ∧ E ∧ X ∧ X ⟶^{μ_{E}∧id∧id} E ∧ X ∧ X
||  ^{id∧θ∧id∧θ}↓  ^{id∧id∧θ∧θ}↓  ^{id∧θ∧θ}↓
S ≅ S ∧ S ⟶^{θ_{∗}(x)∧θ_{∗}(y)} E ∧ E ∧ E ∧ E ⟶^{id∧T ∧id} E ∧ E ∧ E ∧ E ⟶^{μ_{E}∧id∧id} E ∧ E ∧ E

Damit ist die rechte Seite von 1.6.B gerade ϵ((μ_{E})_{∗}(θ_{∗}(x) \underline{∧} θ_{∗}(y))) = ϵ(θ_{∗}(x)θ_{∗}(y)). Die Behauptung folgt. □

1.7 Anwendung auf BP und P(n)

Wir können nun die Ergebnisse der Abschnitte 1.3 - 1.5 dazu benutzen, die Existenz der Spektren P(n) = BP/(v_{0},…, v_{n−1}) zu zeigen. Wir nehmen dazu induktiv an, daß das Ringspektrum P(n − 1) bereits konstruiert sei und folgende Bedingungen erfüllt:

(a) Gegeben sei eine multiplikative Transformation ρ_{n−1} : BP → P(n − 1), die in der Homotopie einen Ringisomorphimus BP_{∗}/(v_{0},…, v_{n−2}) ≅ P(n − 1)_{∗} induziert.

(b) P(n − 1)_{∗}(P(n − 1)) sei eine freie und kommutative P(n − 1)_{∗}-Algebra.

(c) Der Kroneckerhomomorphismus

P(n − 1)^{∗}(P(n − 1)) → Hom_{P(n−1)_{∗}}(P(n − 1)_{∗}(P(n − 1)), P(n − 1)^{∗})

sei ein Isomorphismus.

(d) Es sei m_{n−1}T ≡ m_{n−1} mod v_{n−1}, wobei m_{n−1} die Multiplikation auf P(n − 1) bezeichnet. Für jedes x ∈ P(n − 1)_{∗} sei m_{n−1}(x ∧ id) = m_{n−1}(id ∧ x).

Hierbei sei P(0) = BP, ρ_{0} = id.

Wir definieren nun P(n) als Cofaser der v_{n−1}-Multiplikationsabblidung Σ^{|v_{n−1}|}P(n − 1) → P(n − 1).

[figure: Σ^{|v_{n−1}|}P(n − 1); P(n − 1); ϕ_{n−1}; P(n); ∂_{n−1}; η_{n−1}]

sei das Cofaserdreieck. In den früheren Bezeichnungen ist also R = P(n − 1) und M = P(n).

Die angegebenen Voraussetzungen an P(n − 1) implizieren, daß (I)-(V) erfüllt sind. Die Implikationen b) ⇒ (I), c) ⇒ (II), d) ⇒ (V) und a) ⇒ (III) sind offensichtlich. (IV) folgt ebenfalls aus a), da wegen π_{∗}(ρ_{n−1})(1) = 1 das Diagramm

P(n − 1)_{∗} ⟶^{η_{R}} P(n − 1)_{∗}(P(n − 1))
π_{∗}(ρ_{n−1})↑  ↑^{π_{∗}(ρ_{n−1}∧ρ_{n−1})}
BP_{∗}  ⟶^{η_{R}}  BP_{∗}(BP)

kommutiert und (v_{0},…, v_{n−1}) ⊂ BP_{∗} bekanntlich invariant ist.

Da P(n − 1)_{∗} außerdem wegen a) in geraden Dimensionen konzentriert ist können wir uns auf die Ergebnisse aus den Abschnitten 1.5 und 1.6 beziehen: 1.5.10 zufolge existiert auf P(n) eine Ringspektrenstruktur m_{n} : P(n) ∧ P(n) → P(n) bezüglich der η_{n−1} : P(n − 1) → P(n) multiplikativ ist. Mit ρ_{n} := η_{n−1}ρ_{n−1} erfüllt P(n) also a). Aus m_{n}T = m_{n} + λm_{n}(Q_{n−1} ∧ Q_{n−1}), Q_{n−1} := η_{n−1}∂_{n−1}, folgt außerdem die erste Aussage von d), da man sich leicht überlegt, daß λ für p > 2 aus Dimensionsgründen null ist, bzw. für p = 2 in { 0, v_{n} } liegt. Die zweite folgt aus 1.6.1b). b) folgt schließlich aus 1.6.2, c) aus 1.6.3.

Der Induktionsschritt ist damit vollendet und die Existenz der P(n) für alle n ≥ 0 bewiesen.

Wir zitieren aus [W86] den

(1.7.1) Satz. ([W86], [Mi]) Für p = 2 sind die zulässigen Produkte auf P(n) nicht kommutativ. Es ist m_{n}T = m_{n} + v_{n}m_{n}(Q_{n−1} ∧ Q_{n−1}).

Wir bestimmen nun die Algebrenstruktur von P(n)_{∗}(P(n)) genauer. H bezeichne das Eilenberg-MacLane Spektrum HZ_{p}. Die Struktur von A := H_{∗}(H) ist seit langem bekannt. Wir betrachten im folgenden nur den Fall p = 2. Dann ist A = Z_{2}[ξ_{1}, ξ_{2},…] mit |ξ_{i}| = 2^{i} − 1. HZ_{2} ist gerade das Teleskop der Folge

BP ⟶^{η_{0}} P(1) ⟶^{η_{1}} P(2) ⟶^{η_{2}} P(3) ⟶^{η_{3}} · · · .

(Dies folgt sofort aus lim_{→} P(n)_{∗} = Z_{2}.) Wir erhalten daraus Thom-Reduktionen τ_{n} : P(n) → HZ_{2}, die mit den η_{n}’s kompatibel sind. Wir bezeichnen das Bild von t_{i} ∈ BP_{∗}(BP) unter π_{∗}(ρ_{n} ∧ ρ_{n}) : BP_{∗}(BP) → P(n)_{∗}(P(n)) wieder mit t_{i}.

(1.7.2) Lemma. π_{∗}(τ_{n} ∧ τ_{n}) : P(n)_{∗}(P(n)) → A ist in den Dimensionen < 2^{n+1} − 2 ein Isomorphismus.

Beweis: Wir zeigen dazu, daß π_{∗}(η_{n}∧η_{n}) : P(n)_{∗}(P(n)) → P(n + 1)_{∗}(P(n + 1)) in den Dimensionen < 2^{n+1} − 2 ein Isomorphismus ist. Dies folgt aus der Faktorisierung

P(n)_{∗}(P(n)) ⟶^{η_{n}} P(n + 1)_{∗}(P(n)) ⟶^{η_{n}_{∗}} P(n + 1)_{∗}(P(n + 1)).

Da η_{n}_{∗} die Inklusion eines direkten Summanden ist (vgl. 1.6.2), ist es injektiv. Die Behauptung folgt, da η_{n} durch Reduktion modulo v_{n} gegeben ist und deshalb in den Dimensionen < |v_{n}| = 2^{n+1} − 2 injektiv ist. (Dabei benutzt man, daß P(n)_{∗}(P(n)) keine Erzeugenden in negativen Dimensionen hat.)

1.7.2 folgt nun daraus, daß A = lim_{→} P(n)_{∗}(P(n)) ist und alle Abbildungen in diesem gerichteten

System ab dem Index n in den Dimensionen < 2^{n+1} − 2 Isomorphismen sind. □

Da |c(ξ_{1})| < ⋯ < |c(ξ_{n})| = 2^{n} − 1 < 2^{n+1} − 2 ist, existieren also in P(n)_{∗}(P(n)) eindeutig bestimmte Elemente α_{0},…, α_{n−1} mit π_{∗}(τ_{n} ∧ τ_{n})(α_{i}) = c(ξ_{i+1}). (Dies wird im allgemeinen mit einem Verweis auf [B-M] begründet. Die eben gegebene Argumentation ist aber einfacher.) Aufgrund der Eindeutigkeit geht dabei α_{i} ∈ P(n)_{∗}(P(n)) unter π_{∗}(η_{n} ∧ η_{n}) in das gleichnamige Element α_{i} ∈ P(n + 1)_{∗}(P(n + 1)) über. Mit diesen α_{i}’s läßt sich nun die Struktur von P(n)_{∗}(P(n)) beschreiben:

(1.7.3) Satz. ([K-W])

(a) Als P(n)_{∗}-Algebra ist

P(n)_{∗}(P(n)) = P(n)_{∗}[α_{0},…, α_{n−1}, t_{n}, t_{n+1},…]

mit α_{i}^{2} = t_{i+1} für 0 ≤ i < n − 1 und α_{n−1}^{2} = t_{n} + v_{n}.

(b) Das Coprodukt Δ ist auf den Erzeugenden α_{k} durch

Δ(α_{k}) = ∑_{i=0}^{k} α_{i} ⊗ t_{k−i}^{p^{i}} + 1 ⊗ α_{k}

gegeben.

(c) Für die Konjugation gilt

c(α_{k}) = − ∑_{i=0}^{k−1} c(α_{i})t_{k−i}^{p^{i}} − α_{k}.

Beweis: a) beweist man wie Theorem 1.4 in [K-W]. (Teile dieses Beweises sind auch schon in 1.6.2 wiedergegeben worden.) Daß α_{n−1}^{2} = t_{n} + v_{n} ist, ergibt sich aus der Alternative ([K-W], Seite 199 Mitte)

ϵ(α_{n−1}^{2}) = 0 ⇔ α_{n−1}^{2} = t_{n} oder ϵ(α_{n−1}^{2}) = v_{n} ⇔ α_{n−1}^{2} = t_{n} + v_{n}.

Nach 1.6.4b) ist ϵ(α_{n−1}^{2}) = ϵ(α_{n−1})^{2}+v_{n}ϵ(Q_{n−1}α_{n−1})ϵ(Q_{n−1}_{∗}α_{n−1}). Da Q_{n−1}α_{n−1} = Q_{n−1}_{∗}α_{n−1} = 1 ist und aus Dimensionsgründen ϵ(α_{n−1}) = 0 gilt, ist ϵ(α_{n−1}^{2}) = v_{n} und damit α_{n−1}^{2} = t_{n} + v_{n}.

b) und c) ergeben sich aus 1.7.2 durch Übertragung der bekannten Formeln für das Coprodukt bzw. die Konjugation für A. □

2 Über P(n) und K(n) für p = 2

2.1 Vorbereitungen

In 1.7.3a) wurde gezeigt, daß

P(n)_{∗}(P(n)) = P(n)_{∗}[α_{0},…, α_{n−1}, t_{n+1}, t_{n+2},…]

mit α_{i}^{2} = t_{i+1} (0 ≤ i < n − 1) und α_{n−1}^{2} = t_{n} + v_{n} ist. Wir setzen zur Abkürzung α := α_{n−1} und Q := Q_{n−1}. Das folgende Lemma versammelt einige einfache Tatsachen:

(2.1.1) Lemma. (a) Q : P(n)_{∗}(P(n)) → P(n)_{∗}(P(n)) und Q_{∗} : P(n)_{∗}(P(n)) → P(n)_{∗}(P(n)) sind identisch.

(b) P(n)_{∗}(P(n − 1)) = ker Q = im Q. (Wobei mit Q wie in a) die Operation von Q auf P(n)_{∗}(P(n)) gemeint ist.)

(c) Q kommutiert mit allen Operationen aus P(n)^{∗}(P(n)).

(d) Jedes θ ∈ P(n)^{∗}(P(n)) erfüllt

θ_{∗} (P(n)_{∗}(P(n − 1))) ⊂ P(n)_{∗}(P(n − 1)).

(e) Die Augmentation ϵ : P(n)_{∗}(P(n)) → P(n) erfüllt ϵ(xy) = ϵ(x)ϵ(y) falls x oder y aus P(n)_{∗}(P(n − 1)) ist.

Beweis: Wie schon im Beweis von 1.7.3 verwendet ist Q_{∗}(α) = Q(α) = 1. Wir benutzen weiter, daß Q und Q_{∗} Derivationen sind. Da sich jedes z ∈ P(n)_{∗}(P(n)) als z = z_{1} + αz_{2} mit z_{1}, z_{2} ∈ P(n)_{∗}(P(n − 1)) schreibt ist

Q(z) = Q(z_{1} + αz_{2})
= Q(α)z_{2}
= z_{2}.

Da Q_{∗}(α) = Q(α) ist, ergibt sich genauso Q_{∗}(z) = z_{2}. Hieraus ergeben sich unmittelbar a) und b).

Zum Beweis von c) sei θ ∈ P(n)^{∗}(P(n)). Mit Kroneckerdualität reicht es zu zeigen, daß θ_{∗}Q_{∗} = Q_{∗}θ_{∗} ist. Dies gilt, da Q = Q_{∗} ist und die Homologieoperation Q mit der induzierten Abbildung θ_{∗} kommutiert.

d) folgt aus b), da

z ∈ P(n)_{∗}(P(n − 1))
⇔ Q(z) = 0
⇒ θ_{∗}(Q(z)) = 0
⇔ Q(θ_{∗}(z)) = 0
⇔ θ_{∗}(z) ∈ P(n)_{∗}(P(n − 1)).

e) folgt aus 1.6.4b) mit b). □

Wir schreiben \overline{P(n)} für das Spektrum P(n) mit der Multiplikation μT = μ + v_{n}μ(Q ∧ Q). Für x, y ∈ P(n)_{∗}(P(n)) bezeichne x ⋆ y das Pontrjagin-Produkt in P(n)_{∗}(\overline{P(n)}). Damit gilt:

(2.1.2) Lemma. Es ist x ⋆ y = xy + v_{n}Q_{∗}(x)Q_{∗}(y).

Beweis: Dies ist eine einfache Rechnung:

x ⋆ y = (μ ∧ μT)(id ∧ T ∧ id)(x ∧ y)
= (μ ∧ μ)(id ∧ T ∧ id)(x ∧ y) + v_{n}(μ ∧ μ)(id ∧ id ∧ Q ∧ Q)(id ∧ T ∧ id)(x ∧ y)
= xy + v_{n}(μ ∧ μ)(id ∧ T ∧ id)(id ∧ Q ∧ id ∧ Q)(x ∧ y)
= xy + v_{n}Q_{∗}(x)Q_{∗}(y).
□

Damit können wir nun die multiplikativen und antimultiplikativen Morphismen θ : P(n) → P(n) näher bestimmen:

(2.1.3) Satz. Ein θ ∈ P(n)^{∗}(P(n)) ist genau dann multiplikativ, wenn sein Kroneckerdual θ̃ ein Algebrenhomomorphismus

P(n)_{∗}(\overline{P(n)}) → P(n)^{∗}

ist. Es ist antimultiplikativ (d.h. es ist θμT = μ(θ ∧ θ)) genau dann, wenn θ̃ ein Algebrenhomomorphismus

P(n)_{∗}(P(n)) → P(n)^{∗}

ist.

Beweis: Satz 1.6.5 zufolge ist θ genau dann multiplikativ, wenn

ϵ(θ_{∗}(x)θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(xy)) (2.1.A)

gilt. Wir müssen zeigen, daß dies zu

ϵ(θ_{∗}(x))ϵ(θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(x ⋆ y)) (2.1.B)

äquivalent ist.

Aus beiden Bedingungen folgt jeweils, daß

(2.1.C)  θ̃(xy) = θ̃(x)θ̃(y) für x oder y aus P(n)_{∗}(P(n − 1))

gilt.

Die Implikation 2.1.B ⇒ 2.1.C ergibt sich daraus, daß für solche x und y nach Lemma 2.1.2 x⋆y = xy ist.

2.1.A ⇒ 2.1.C folgt aus 2.1.1d) und 2.1.1e).

Zum Beweis der Äquivalenz 2.1.A ⇔ 2.1.B können wir also 2.1.C annehmen. 1.6.4b) liefert

ϵ(θ_{∗}(x)θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(x))ϵ(θ_{∗}(y)) + v_{n}ϵ(θ_{∗}(Qx))ϵ(θ_{∗}(Qy)).

Damit wird 2.1.A zu

ϵ(θ_{∗}(x))ϵ(θ_{∗}(y)) + v_{n}ϵ(θ_{∗}(Qx))ϵ(θ_{∗}(Qy)) = ϵ(θ_{∗}(xy)).

Benutzt man x ⋆ y = xy + v_{n}(Qx)(Qy), so schreibt sich 2.1.B als

ϵ(θ_{∗}(x))ϵ(θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(xy)) + v_{n}ϵ(θ_{∗}((Qx)(Qy))).

Die Differenz beider Gleichungen ist also

v_{n}θ̃(Qx)θ̃(Qy) = v_{n}θ̃((Qx)(Qy)).

Dies ist aber eine Folgerung aus 2.1.C, da Qx und Qy nach 2.1.1b) aus P(n)_{∗}(P(n − 1)) sind.

Die Charakterisierung antimultiplikativer Morphismen leitet man ganz analog her: Satz 1.6.5. liefert die Bedingung ϵ(θ_{∗}(x)θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(x ⋆ y)) und dies soll zu ϵ(θ_{∗}(x))ϵ(θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(xy)) äquivalent sein. Dies zeigt man genauso wie im multiplikativen Fall. (vgl. den Beweis von 2.4.3). □

(2.1.4) Lemma. Es ist P(n)_{∗}(\overline{P(n)}) = P(n)_{∗}[α_{0},…, α_{n−1}, t_{n+1}, t_{n+2},…] mit α_{i} ⋆ α_{i} = t_{i+1} für 0 ≤ i ≤ n − 1. □.

Beweis: Aus 2.1.2 folgt, daß xy = x ⋆ y für x oder y aus P(n)_{∗}(P(n − 1)) gilt. Die multiplikative Struktur auf P(n)_{∗}[α_{0},…, α_{n−2}, t_{n}, t_{n+1},…] ist also wie behauptet. Es bleibt nur noch, α_{n−1} ⋆α_{n−1} zu berechnen. Aus 2.1.2 folgt, daß α_{n−1} ⋆ α_{n−1} = α_{n−1}^{2} + v_{n}Q_{∗}(α_{n−1})Q_{∗}(α_{n−1}) = t_{n} + v_{n} + v_{n} = t_{n} ist. □

2.2 Formale Gruppen

Wir erinnern zunächst an die Beziehung zwischen dem Hopf-Algebroid (P(n)_{∗}, P(n)_{∗}(BP)) und formalen Gruppen. Die benötigten Begriffe findet man in [R], Appendix 2.

Für eine Z_{p}-Algebra R sei F_{n}(R) die Menge der p-typischen formalen Gruppen einer Höhe größer oder gleich n über R. SI_{n}(R) sei die Menge der Tripel (F, f, G), mit F, G ∈ F_{n}(R) und einem strikten Isomorphismus f : G → F. F_{n}(−) und SI_{n}(−) ergeben zusammen einen gruppoidwertigen Funktor auf der Kategorie der kommutativen Z_{p}-Algebren. Dieser Funktor wird durch das Hopf-Algebroid (P(n)_{∗}, P(n)_{∗}(BP)) (co-)repräsentiert, d.h. man hat natürliche Bijektionen

F_{n}(R) ↔ Hom_{Z_{p}−Alg}(P(n)_{∗}, R)

und

SI_{n}(R) ↔ Hom_{Z_{p}−Alg}(P(n)_{∗}(BP), R).

Die Strukturabbildungen ϵ, η_{L}, η_{R}, c, Δ lassen sich nun als natürliche Transformationen interpretieren:

ϵ : P(n)_{∗}(BP) → P(n)_{∗} ↔ F ↦ (F, id, F)
η_{L} : P(n)_{∗} → P(n)_{∗}(BP) ↔ (F, f, G) ↦ F
η_{R} : P(n)_{∗} → P(n)_{∗}(BP) ↔ (F, f, G) ↦ G
c : P(n)_{∗}(BP) → P(n)_{∗}(BP) ↔ (F, f, G) ↦ (G, f^{−1}, F)

Δ entspricht der Zusammensetzung strikter Isomorphismen.

Zum späteren Gebrauch halten wir noch fest wie die Bijektion

SI_{n}(R) ↔ Hom_{Z_{p}−Alg}(P(n)_{∗}(BP), R)

zustandekommt. Ist ϕ : P(n)_{∗}(BP) → R gegeben, so bestimmt man das Tripel (F, f, G) so:

(a) F (bzw. G) ist die durch ϕη_{L} : P(n)_{∗} → R (bzw. ϕη_{R}) auf R induzierte formale Gruppe.

(b) f : G → F ist durch f^{−1}(x) = x +_{F} ∑_{i≥1}^{F}ϕ(t_{i})x^{p^{i}} bestimmt.

Für p = 2 besteht neben diesen Transformationen noch eine weitere: die Inversion [−1]_{F} (x) ist in diesem Fall nämlich ein strikter Isomorphismus F → F, da allgemein [−1]_{F} (x) ≡ −x mod x^{2} ist. Wir erhalten damit ein δ_{n} : P(n)_{∗}(BP) → P(n)_{∗}, das die Zuordnung

F ↦ (F, [−1]_{F} (x), F)

darstellt. Es ist klar, daß für jedes n ≥ 1 das Diagramm

P(n)_{∗}(BP) ⟶^{δ_{n}} P(n)_{∗}
η_{n}↓  ^{η_{n}}↓
P(n + 1)_{∗}(BP) ⟶^{δ_{n+1}} P(n + 1)_{∗}

kommutiert. Deswegen schreiben wir im folgenden einfach δ statt δ_{n}. Außerdem gilt offensichtlich δη_{L} = δη_{R} = id. Insbesondere ist δ(v_{i}) = δ(η_{L}(v_{i})) = v_{i} für jedes i.

(2.2.1) Lemma. Es ist δ(t_{n}) ≡ v_{n} mod I_{n}.

Beweis: Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach n. Für den Induktionsschritt n − 1 ⇒ n betrachten wir die formale Gruppe F_{n} über K(n)_{∗} := v_{n}^{−1}P(n)_{∗}/(v_{n+1}, v_{n+2},…), die durch die kanonische Abbildung π : P(n)_{∗} → K(n)_{∗} induziert wird. Klassifiziert δ̃ : P(n)_{∗}(BP) → K(n)_{∗} die Inversion [−1]_{F_{n}}(x), so ist δ̃ = πδ und [−1]_{F_{n}}(x) ist durch

[−1]_{F_{n}}(x) = x +_{F_{n}} ∑_{i≥1}^{F_{n}} δ̃(t_{i})x^{2^{i}}

gegeben. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, daß δ(t_{1}) ≡ δ(t_{2}) ≡ ⋯ ≡ δ(t_{n−1}) ≡ 0 mod I_{n} ist. Damit ist δ̃(t_{1}) = ⋯ = δ̃(t_{n−1}) = 0 und es ergibt sich

[−1]_{F_{n}}(x) = x +_{F_{n}} ∑_{i≥n}^{F_{n}} δ̃(t_{i})x^{2^{i}}
≡ x + δ̃(t_{n})x^{2^{n}} mod (x^{2^{n}+1}).

Wir benutzen den Ringhomomorphismus Z ∋ m ↦ [m]_{F_{n}}(x) ∈ End(F_{n}). Da −1 = 1 + 2 + 4 · (−1) ist, ist

[−1]_{F_{n}}(x) = x +_{F_{n}} [2]_{F_{n}}(x) +_{F_{n}} [4]_{F_{n}} ([−1]_{F_{n}}(x))
= x +_{F_{n}} v_{n}x^{2^{n}} +_{F_{n}} [4]_{F_{n}} ([−1]_{F_{n}}(x))
≡ x + v_{n}x^{2^{n}} mod (x^{2^{n}+1}).

Hierbei wurde benutzt, daß [4]_{F_{n}}(x) = [2]_{F_{n}} ([2]_{F_{n}}(x)) = v_{n}(v_{n}x^{2^{n}})^{2^{n}} ≡ 0 mod (x^{2^{n}+1}) ist.

Ein Vergleich der Koeffizienten von x^{2^{n}} ergibt δ̃(t_{n}) = v_{n}, d.h.

δ(t_{n}) ≡ v_{n} mod (v_{0},…, v_{n−1}, v_{n+1}, v_{n+2},…).

Da |δ(t_{n})| = |v_{n}| < |v_{n+j}| für j ≥ 1 ist, gilt diese Kongruenz auch modulo I_{n} und die Behauptung folgt. □

Damit können wir zeigen, daß die beiden Multiplikationen auf P(n) durch einen kanonischen Antiautomorphismus verbunden sind:

(2.2.2) Satz. Die Inversion der formalen Gruppe auf P(n)_{∗} induziert eine antimultiplikative Involution Φ : P(n) → P(n).

Beweis: 2.1.3 zufolge müssen wir zeigen, daß sich δ : P(n)_{∗}(BP) → P(n)_{∗} zu einem Algebrenhomomorphismus δ̄: P(n)_{∗}(P(n)) → P(n)_{∗} fortsetzen läßt. Da P(n)_{∗} in geraden Dimensionen konzentriert ist und |α_{i}| ungerade ist, müssen wir δ̄(α_{i}) = 0 setzen. Wir haben also zu zeigen, daß dies mit den gegebenen Relationen α_{i}^{2} = t_{i+1} (für 0 ≤ i < n − 1) und α_{n−1}^{2} = t_{n} + v_{n} verträglich ist.

Für 0 ≤ i < n − 1 folgt dies, da δ(α_{i}^{2}) = δ(t_{i+1}) ≡ 0 mod I_{n} ist. Für i = n − 1 ergibt sich ebenfalls δ(α_{n−1}^{2}) = δ(t_{n} + v_{n}) ≡ v_{n} + v_{n} ≡ 0 mod I_{n} wie behauptet.

Damit erhalten wir also einen antimultiplikativen Morphismus Φ : P(n) → P(n). Bleibt zu zeigen, daß ΦΦ = id ist:

Zunächst ist ΦΦ offensichtlich multiplikativ. Sein Kroneckerdual ϵ̃ verschwindet also auf dem von α_{0},…, α_{n−1} in P(n)_{∗}(\overline{P(n)}) erzeugten Ideal. Eingeschränkt auf P(n)_{∗}(BP) klassifiziert ϵ̃ : P(n)_{∗}(BP) → P(n)_{∗} andererseits den strikten Isomorphismus [−1]_{F} ([−1]_{F} (x)) = x. Daher ist ϵ̃ = ϵ, also ΦΦ = id. □

2.3 Zur Konstruktion von K(n)

Sei K(n)_{∗} := v_{n}^{−1}P(n)_{∗}/(v_{n+1}, v_{n+2},…). Der Zweck dieses Abschnitts ist es, zu zeigen, daß

K(n)_{∗}(−) := K(n)_{∗} ⊗_{P(n)_{∗}} P(n)_{∗}(−)

eine Homologietheorie ist.

Für p > 2 argumentiert man für gewöhnlich so: Zunächst ist P(n)_{∗}(P(n)) in diesem Fall ein Hopf-Algebroid und P(n)_{∗}(X) ist für jedes X auf natürliche Weise ein P(n)_{∗}(P(n))-Comodul. Außerdem ist P(n)_{∗}(X) für ein endliches Spektrum X ein endlich präsentierter P(n)_{∗}-Modul. Man benutzt sodann den

(2.3.1) Satz. Auf der Kategorie der P(n)_{∗}(P(n))-Comoduln, die als P(n)_{∗}-Moduln endlich präsentiert sind, ist der Funktor G⊗_{P(n)_{∗}} (−), G ein P(n)_{∗}-Modul, genau dann exakt, wenn für jedes i ≥ n Multiplikation mit v_{i} auf G/(v_{n},…, v_{i−1}) injektiv ist. □

Beweis: Den Beweis findet man in [Y76]. Vgl. auch [L] für die ursprüngliche BP-Version dieses Resultats. □

Da K(n)_{∗} offensichtlich die geforderte Bedingung erfüllt, ergibt sich, daß K(n)_{∗}(−) zumindest eine Homologietheorie auf der Kategorie endlicher Spektren ist. Die Ausdehnung auf beliebige Spektren ist dann nicht schwer.

Auf den Fall p = 2 ist diese Argumentation nicht unmittelbar übertragbar, da P(n)_{∗}(P(n)) kein Hopf-Algebroid ist. Wir geben deswegen einen Ad-hoc-Beweis, der sich an [J-W] anlehnt:

Man setze B(n)_{∗}(X) = v_{n}^{−1}P(n)_{∗}(X) und B(n, i)_{∗}(X) = B(n)_{∗}(X)/(v_{n+1},…, v_{n+i}) für i ≥ 0. Es ist B(n)_{∗}(−) = B(n, 0)_{∗}(−) und mit B(n, i)_{∗} := B(n, i)_{∗}(S) ist B(n, i)_{∗}(−) = B(n, i)_{∗} ⊗_{P(n)_{∗}} P(n)_{∗}(−). Die offensichtlichen Transformationen B(n, i)_{∗}(−) → B(n, i + 1)_{∗}(−) definieren ein gerichtetes System

B(n)_{∗}(−) = B(n, 0)_{∗}(−) → B(n, 1)_{∗}(−) → B(n, 2)_{∗}(−) → B(n, 3)_{∗}(−) → ⋯

und es ist K(n)_{∗}(−) = lim_{→} B(n, i)_{∗}(−). Deswegen reicht es zu zeigen, daß jedes B(n, i)_{∗}(−) eine Homologietheorie ist.

Wir zeigen dies durch Induktion nach i. Der Induktionsanfang ergibt sich für i = 0, da Lokalisierung an v_{n} exakt ist.

Wir benutzen das folgende Lemma aus [J-W].

(2.3.2) Lemma. Für jeden Morphismus f : S → X ist f_{∗} : B(n)_{∗}(S) → B(n)_{∗}(X) entweder null oder injektiv.

Beweis: Dies ist Lemma (3.3) aus [J-W]. □

Der Induktionsschritt ist in dem folgendem Lemma enthalten:

(2.3.3) Lemma. Angenommen B(n, i)_{∗}(−) sei eine Homologietheorie. Dann gilt:

(a) Für jedes X ist Multiplikation mit v_{n+i+1} auf B(n, i)_{∗}(X) injektiv.

(b) B(n, i + 1)_{∗}(−) ist eine Homologietheorie.

Beweis: Da B(n, i)_{∗}(X) = lim_{→} B(n, i)_{∗}(X_{α}) ist, wenn X_{α} das System der endlichen Unterspektren von X durchläuft, und der direkte Limes exakt ist, braucht man a) nur für endliche Spektren zu beweisen.

Für die Sphäre S ist die Behauptung offensichtlich. Wir nehmen nun an, daß a) für ein Spektrum Y gilt und zeigen, daß auch jedes Spektrum X, das aus Y durch Anheften einer Zelle entsteht, a) erfüllt. Dazu betrachten wir eine Cofaserfolge

⋯ ⟶ S ⟶^{f} X ⟶^{g} Y ⟶^{h} ΣS ⟶ · · · .

Aus 2.3.2 folgt, daß h_{∗} : B(n, i)_{∗}(Y) → B(n, i)_{∗}(ΣS) oder f_{∗} : B(n, i)_{∗}(S) → B(n, i)_{∗}(X) null ist. Im ersten Fall betrachten wir das kommutative Diagramm

0 ⟶ B(n, i)_{∗}(S) ⟶^{f_{∗}} B(n, i)_{∗}(X) ⟶^{g_{∗}} B(n, i)_{∗}(Y) ⟶ 0
·v_{n+i+1}↓  ^{·v_{n+i+1}}↓  ^{·v_{n+i+1}}↓
0 ⟶ B(n, i)_{∗}(S) ⟶^{f_{∗}} B(n, i)_{∗}(X) ⟶^{g_{∗}} B(n, i)_{∗}(Y) ⟶ 0

im zweiten

0 ⟶ B(n, i)_{∗}(X) ⟶^{g_{∗}} B(n, i)_{∗}(Y) ⟶^{h_{∗}} B(n, i)_{∗}(ΣS) ⟶ 0
·v_{n+i+1}↓  ^{·v_{n+i+1}}↓  ^{·v_{n+i+1}}↓
0 ⟶ B(n, i)_{∗}(X) ⟶^{g_{∗}} B(n, i)_{∗}(Y) ⟶^{h_{∗}} B(n, i)_{∗}(ΣS) ⟶ 0

In beiden Fällen sind die Zeilen des jeweiligen Diagramms exakt. Die Injektivität von ·v_{n+i+1} : B(n, i)_{∗}(X) → B(n, i)_{∗}(X) folgt aus einer einfachen Diagrammjagd.

Für b) ist nur die Exaktheit von B(n, i + 1)_{∗}(−) nicht offensichtlich. Wir betrachten eine Cofaserfolge

⋯ ⟶ Z ⟶^{f} X ⟶^{g} Y ⟶^{h} ΣZ ⟶ ⋯

und dazu das Diagramm

⋯ → B(n, i)_{∗}(Z) ⟶^{f_{∗}} B(n, i)_{∗}(X) ⟶^{g_{∗}} B(n, i)_{∗}(Y) ⟶^{h_{∗}} B(n, i)_{∗}(ΣZ) → ⋯
·v_{n+i+1}↓  ^{·v_{n+i+1}}↓  ^{·v_{n+i+1}}↓  ^{·v_{n+i+1}}↓
⋯ → B(n, i)_{∗}(Z) ⟶^{f_{∗}} B(n, i)_{∗}(X) ⟶^{g_{∗}} B(n, i)_{∗}(Y) ⟶^{h_{∗}} B(n, i)_{∗}(ΣZ) → ⋯
↓  ↓  ↓  ↓
⋯ → B(n, i + 1)_{∗}(Z) ⟶^{f_{∗}} B(n, i + 1)_{∗}(X) ⟶^{g_{∗}} B(n, i + 1)_{∗}(Y) ⟶^{h_{∗}} B(n, i + 1)_{∗}(ΣZ) → ⋯

In diesem Diagramm sind die Spalten nach a) kurze exakte Sequenzen. Die beiden oberen Zeilen sind nach Voraussetzung exakt. Eine Diagrammjagd zeigt nun die Exaktheit der unteren Zeile. □

Damit ist also K(n)_{∗}(−) eine Homologietheorie. Wir zeigen schließlich noch, wie man auf K(n) eine Ringspektrenstruktur definiert.

In K(n)_{∗} ist jedes von Null verschiedene homogene Element invertierbar. Jeder graduierte K(n)_{∗}- Modul ist daher frei. (K(n)_{∗} ist ein ”graduierter Körper“.) Folglich definiert

(2.3.A) K(n)^{∗}(X) := Hom_{K(n)_{∗}}(K(n)_{∗}(X), K(n)^{∗}) = Hom_{P(n)_{∗}}(P(n)_{∗}(X), K(n)^{∗})

eine verallgemeinerte Cohomologietheorie. Nach Konstruktion bestehen überdies natürliche Transformationen

λ^{h} : P(n)_{∗}(−) → K(n)_{∗}(−)

und

λ^{c} : P(n)^{∗}(−) → K(n)^{∗}(−),

wobei letztere vom Kroneckerhomomorphismus P(n)^{∗}(X) → Hom_{P(n)_{∗}}(P(n)_{∗}(X), P(n)^{∗}) induziert wird. Beide Transformationen sind offensichtlich P(n)_{∗}-linear und (bzgl. 2.3.A) zueinander adjungiert.

Wir zeigen, daß K(n)_{∗}(−) und K(n)^{∗}(−) vom selben Spektrum repräsentiert werden.

(2.3.4) Lemma. Ist G das darstellende Spektrum der Cohomologietheorie K(n)^{∗}(−), so besteht eine natürliche Isomorphie G_{∗}(−) ≅ K(n)_{∗}(−).

λ^{c} und λ^{h} werden vom selben Morphismus λ : P(n) → G induziert.

Beweis: Da G^{∗}(−) mit einer natürlichen K(n)_{∗}-Modulstruktur versehen ist, gilt dasselbe für G_{∗}(−). (Für jedes x ∈ K(n)_{∗} läßt sich nämlich die Linksmultiplikation mit x

L_{x} : G^{∗}(−) → G^{∗}(−)

durch einen eindeutig bestimmten Morphismus Ξ(x) : G → G darstellen. Dadurch wird ein Ringhomomorphismus Ξ : K(n)_{∗} → G^{∗}(G) definiert, durch den K(n)_{∗} auf G_{∗}(−) operiert.)

Die Transformation λ^{c} wird durch einen (eindeutig bestimmten) Morphismus λ : P(n) → G induziert. Die zu λ gehörende Homologieoperation

P(n)_{∗}(−) → G_{∗}(−)

ist P(n)_{∗}-linear. Aufgrund der Linearität faktorisiert diese Transformation über K(n)_{∗} ⊗_{P(n)_{∗}} P(n)_{∗}(−) = K(n)_{∗}(−) und wir erhalten eine Transformation K(n)_{∗}(−) → G_{∗}(−). Es folgt leicht aus der Konstruktion, daß dies auf Sphären ein Isomorphismus ist und damit folgt die Isomorphie aus dem Vergleichssatz für Homologietheorien.

Daß λ^{h} von λ induziert wird folgt daraus, daß λ^{h} und die zu λ gehörende Homologieoperation beide bzgl. 2.3.A zu λ^{c} adjungiert sind. □

Wir schreiben im folgenden K(n) für das darstellende Spektrum von K(n)^{∗}(−).

Die Multiplikation μ : P(n) ∧ P(n) → P(n) definiert ein P(n)_{∗}-lineares äußeres Homologieprodukt

P(n)_{∗}(X) ⊗_{P(n)_{∗}} P(n)_{∗}(Y) ⟶^{\underline{∧}} P(n)_{∗}(X ∧ Y),

das ein äußeres Homologieprodukt

K(n)_{∗}(X) ⊗_{K(n)_{∗}} K(n)_{∗}(Y) ⟶^{\underline{∧}} K(n)_{∗}(X ∧ Y) (2.3.B)

induziert. Da K(n)_{∗}(X) für jedes X frei ist, ist 2.3.B sogar ein Isomorphismus. Aus der Definition von K(n)^{∗}(−) erhalten wir damit einen Homomorphismus

K(n)^{∗}(X) ⊗_{K(n)^{∗}} K(n)^{∗}(Y) ⟶^{\overline{∧}} K(n)^{∗}(X ∧ Y) (2.3.C)

mit

⟨ x \overline{∧} y, α \underline{∧} β ⟩ := ⟨ x, α ⟩⟨ y, β ⟩

für x ∈ K(n)^{∗}(X), y ∈ K(n)^{∗}(Y), α ∈ K(n)_{∗}(X) und β ∈ K(n)_{∗}(Y). (⟨ − , − ⟩ bezeichnet hier die zu 2.3.A gehörende Paarung K(n)^{∗}(X) ⊗_{K(n)_{∗}} K(n)_{∗}(X) → K(n)^{∗}.)

Man überlegt sich leicht, daß

m := id \overline{∧} id ∈ K(n)^{∗}(K(n) ∧ K(n))

auf K(n) eine Ringspektrenstruktur definiert für die λ : P(n) → K(n) multiplikativ ist.

Die Bocksteinoperation Q_{n−1} : P(n) → P(n − 1) ist P(n)_{∗}-linear und induziert deshalb eine natürliche Transformation Q_{n−1} : K(n)_{∗}(−) → K(n)_{∗}(−). Wir erhalten damit eine (wieder mit Q_{n−1} bzw. einfach Q bezeichnete) Operation Q_{n−1} : K(n) → K(n). Für p = 2 leitet man dann leicht ab, daß für die Multiplikation m : K(n) ∧ K(n) → K(n) die Beziehung mT = m + v_{n}m(Q_{n−1} ∧ Q_{n−1}) gilt.

2.4 Multiplikative und antimultiplikative Automorphismen von K(n)

Im folgenden sei p = 2. Wir schreiben \overline{K(n)} für das Ringspektrum K(n) mit der Multiplikation mT. Es gilt:

(2.4.1) Lemma.

π_{∗}(λ ∧ λ) : v_{n}^{−1}P(n)_{∗}(P(n)) → K(n)_{∗}(K(n))

und

π_{∗}(λ ∧ λ) : v_{n}^{−1}P(n)_{∗}(\overline{P(n)}) → K(n)_{∗}(\overline{K(n)})

sind surjektive Algebrenhomomorphismen. Der Kern ist (in beiden Fällen) das von η_{L}(v_{i}) und η_{R}(v_{i}) für alle i > n erzeugte Ideal.

Beweis: Die Multiplikativität von π_{∗}(λ ∧ λ) ist in beiden Fällen offensichtlich. Aus

K(n)_{∗}(X) = K(n)_{∗} ⊗_{P(n)_{∗}} P(n)_{∗}(X)

folgt durch Anwendung der Vertauschung K(n) ∧ X ≅ X ∧ K(n)

X_{∗}(K(n)) = X_{∗}(P(n)) ⊗_{P(n)_{∗}} K(n)_{∗},

wobei P(n)_{∗} auf X_{∗}(P(n)) via η_{R} operiert. Damit ist

K(n)_{∗}(K(n)) = K(n)_{∗} ⊗_{P(n)_{∗}} P(n)_{∗}(P(n)) ⊗_{P(n)_{∗}} K(n)_{∗}.

Hieraus ergibt sich die Surjektivität und die Identifikation des Kerns von π_{∗}(λ ∧ λ). □

Für K(n) übertragen sich einige Aussagen von 2.1.1:

(2.4.2) Lemma. (a) Q : K(n)_{∗}(K(n)) → K(n)_{∗} und Q_{∗} : K(n)_{∗}(K(n)) → K(n)_{∗} sind identisch.

(b) Q kommutiert mit allen Operationen aus K(n)^{∗}(K(n)).

(c) Bezeichnet x ⋆ y das Pontrjagin-Produkt in K(n)_{∗}(\overline{K(n)}) so ist

x ⋆ y = xy + v_{n}Q_{∗}(x)Q_{∗}(y).

(d) Für die Augmentation ϵ = π_{∗}(m) : K(n)_{∗}(K(n)) → K(n)_{∗} gilt

ϵ(xy) = ϵ(x)ϵ(y) + v_{n}ϵ(Q_{∗}(x))ϵ(Q_{∗}(y)).

Beweis: a) folgt aus den kommutativen Diagrammen

P(n)_{∗}(P(n)) ⟶^{π_{∗}(λ∧λ)} K(n)_{∗}(K(n))  P(n)_{∗}(P(n)) ⟶^{π_{∗}(λ∧λ)} K(n)_{∗}(K(n))
Q↓  ↓_{Q  und}  ^{Q_{∗}}↓  ↓^{Q_{∗}}
P(n)_{∗}(P(n)) ⟶^{π_{∗}(λ∧λ)} K(n)_{∗}(K(n))  P(n)_{∗}(P(n)) ⟶^{π_{∗}(λ∧λ)} K(n)_{∗}(K(n))

da die Aussage für die P(n)-Operation bekannt ist und das Bild von π_{∗}(λ ∧ λ) ein K(n)_{∗}- Erzeugendensystem für K(n)_{∗}(K(n)) ist. Genauso folgen auch c) und d).

b) folgt wie in 2.1.1 aus der Kroneckerdualität K(n)^{∗}(K(n)) ≅ Hom_{K(n)_{∗}}(K(n)_{∗}(K(n)), K(n)_{∗}) mit a). □

Satz 2.1.3 überträgt sich unmittelbar auf die K(n)’s:

(2.4.3) Satz. Ein Morphismus θ : K(n) → K(n) ist genau dann multiplikativ, falls sein Kroneckerdual θ̃ ein Algebrenhomomorphismus

K(n)_{∗}(\overline{K(n)}) → K(n)_{∗}

ist. Es ist genau dann antimultiplikativ, wenn θ̃ ein Algebrenhomomorphismus

K(n)_{∗}(K(n)) → K(n)_{∗}

ist.

Beweis: Dies beweist man im Grunde genau wie 2.1.3. Im Detail:

1.6.5 zufolge ist θ : K(n) → K(n) genau dann antimultiplikativ, wenn für alle x, y ∈ K(n)_{∗}(K(n))

ϵ(θ_{∗}(x)θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(x ⋆ y)) (2.4.A)

ist. Dies soll zu ϵ(θ_{∗}(x))ϵ(θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(xy)) (2.4.B)

äquivalent sein. Aus beiden Bedingungen folgt mit 2.4.2 jeweils, daß

(2.4.C) ϵ(θ_{∗}(x))ϵ(θ_{∗}(y)) = ϵ(θ_{∗}(xy)), falls Q_{∗}(x) oder Q_{∗}(y) null ist

gilt. Nehmen wir also 2.4.C an. Mit 2.4.2 schreibt sich 2.4.A als

θ̃(x)θ̃(y) + v_{n}θ̃(Q_{∗}(x))θ̃(Q_{∗}(y)) = θ̃(xy + v_{n}Q_{∗}(x)Q_{∗}(y)).

Aus 2.4.C ergibt sich, daß

θ̃(v_{n}Q_{∗}(x)Q_{∗}(y)) = v_{n}θ̃(Q_{∗}(x))θ̃(Q_{∗}(y))

ist. Zusammengenommen ergibt sich unmittelbar die Äquivalenz von 2.4.A und 2.4.B.

Im multiplikativen Fall argumentiert man genauso. □

Σ(n) ⊂ K(n)_{∗}(K(n)) sei das Bild von v_{n}^{−1}P(n)_{∗}(BP) ⊂ v_{n}^{−1}P(n)_{∗}(P(n)) unter π_{∗}(λ ∧ λ). Σ(n) — bekannt als nte-Morava’sche Stabilisatoralgebra, vgl. [R], Chapter 6 — ist eine Unteralgebra von K(n)_{∗}(K(n)).

(2.4.4) Lemma. Sei ϕ : Σ(n) → K(n)_{∗} ein K(n)_{∗}-Algebrenhomomorphismus (vom Grad Null). Dann gilt:

(a) Es ist ϕ(t_{1}) = ⋯ = ϕ(t_{n−1}) = 0 und ϕ(t_{n}) ∈ { 0, v_{n} }.

(b) ϕ setzt sich entweder zu einem Algebrenhomomorphismus

ϕ̄: K(n)_{∗}(K(n)) → K(n)_{∗}

(im Fall ϕ(t_{n}) = v_{n}), oder zu einem Algebrenhomomorphismus

ϕ̄: K(n)_{∗}(\overline{K(n)}) → K(n)_{∗}

(falls ϕ(t_{n}) = 0) fort. In beiden Fällen ist die Fortsetzung eindeutig.

Beweis: a) folgt durch eine triviale Dimensionsbetrachtung.

Für b) überlegt man sich zunächst, daß

K(n)_{∗}(K(n)) = Σ(n)[α_{0},…, α_{n−1}]/(α_{i}^{2} − t_{i+1} − v_{i+1})

und

K(n)_{∗}(\overline{K(n)}) = Σ(n)[α_{0},…, α_{n−1}]/(α_{i}^{2} − t_{i+1})

ist. Dies folgt leicht aus der Struktur von P(n)_{∗}(P(n)) bzw. P(n)_{∗}(\overline{P(n)}) (vgl. 2.4.1).

Da Σ(n) ∪ \{ α_{i} | 0 ≤ i < n \} die Algebra K(n)_{∗}(\overline{K(n)}) erzeugt und ϕ̄ wegen |α_{i}| ≡ 1 mod 2 auf den α_{i}’s verschwinden muß, ergibt sich die Eindeutigkeit einer Fortsetzung.

Außerdem ergibt sich, daß eine Fortsetzung genau dann existiert, wenn ϕ auf der von den α_{i} erzeugten Unteralgebra verschwindet. Mit a) und den Relationen α_{i}^{2} = t_{i+1} ist dies für eine Fortsetzung auf K(n)_{∗}(\overline{K(n)}) zu ϕ(t_{n}) = 0 äquivalent.

Im Fall ϕ(t_{n}) = v_{n} argumentiert man genauso. □

(2.4.5) Bemerkung. Das eben bewiesene Lemma markiert einen wichtigen Unterschied zwischen den Fällen p = 2 und p > 2. Für p > 2 ist K(n)_{∗}(K(n)) = Σ(n) ⊗_{K(n)_{∗}} Λ(τ_{0},…, τ_{n−1}). Damit läßt sich wegen τ_{i}^{2} = 0 jeder K(n)_{∗}-Algebrenhomomorphismus ϕ : Σ(n) → K(n)_{∗} eindeutig zu einem Algebrenhomomorphismus ϕ̃: K(n)_{∗}(K(n)) → K(n)_{∗} liften. (Dies ist Gleichung (3.16) aus [W84].)

Das folgende Lemma ergibt sich unmittelbar aus der Konstruktion von Σ(n).

(2.4.6) Lemma. Es gibt eine kanonische Bijektion

Hom_{K(n)_{∗}−Alg}(Σ(n), K(n)_{∗}) ↔ { strikte Automorphismen von F_{n} } =: SAut(F_{n})

F_{n} ist dabei die im Beweis von 2.2.1 definierte formale Gruppe. Die Bijektion ist durch

ϕ ↦ f(x) := x +_{F_{n}} ∑_{i≥1}^{F_{n}}ϕ(t_{i})x^{p^{i}}

gegeben.

Beweis: Jeder K(n)_{∗}-Algebrenhomomorphismus

ϕ : Σ(n) = K(n)_{∗} ⊗_{BP_{∗}} BP_{∗}(BP) ⊗_{BP_{∗}} K(n)_{∗} → K(n)_{∗}

definiert durch Vorschalten von

κ : BP_{∗}(BP) → K(n)_{∗} ⊗_{BP_{∗}} BP_{∗}(BP) ⊗_{BPn_{∗}} K(n)_{∗}

einen Ringhomomorphismus ϕ̃ : BP_{∗}(BP) → K(n)_{∗}, d.h. ein Tripel (F, f, G) ∈ SI_{0}(K(n)_{∗}). Die Zuordnung ϕ ↦ (F, f, G) ∈ SI_{0}(K(n)_{∗}) ist injektiv, denn im κ ist ein K(n)_{∗}-Erzeugendensystem von Σ(n).

Andererseits faktorisiert ein solches ϕ̃ genau dann über Σ(n), wenn ϕ̃η_{L} = ϕ̃η_{R} ist, d.h. wenn F = G ist. Der entstehende Ringmorphismus Σ(n) → K(n)_{∗} ist genau dann K(n)_{∗}-linear, wenn ϕ̃η_{L} : BP_{∗} → K(n)_{∗} die kanonische Abbildung ist, die F_{n} definiert, d.h. wenn F = F_{n} ist. Wir erhalten damit genau die Tripel der Form (F_{n}, f, F_{n}), d.h. genau die strikten Automorphismen von F_{n}. □

Es ist bekannt (vgl. Prop. 6.4 aus [Y80]), daß sich die Abbildung Z ∋ m ↦ [m]_{F_{n}}(x) ∈ End(F_{n}) zu einem stetigen Ringisomorphismus

Ẑ_{2} ⟶^{≅} End(F_{n})

fortsetzt (Ẑ_{2} sind die 2-adischen ganzen Zahlen). Wir erhalten also einen Isomorphismus

Ẑ_{2}^{∗} ⟶^{≅} Aut(F_{n}), (2.4.D)

wobei Ẑ_{2}^{∗} die Einheitengruppe von Ẑ_{2} bezeichnet. Zum Abschluß dieser Arbeit zeigen wir noch den folgenden Satz, der Theorem 2.6 aus [W89] korrigiert.

(2.4.7) Satz. Sei Mult^{+} (bzw. Mult^{−}) die Menge der multiplikativen (bzw. antimultiplikativen) Automorphismen K(n) → K(n), Mult^{±} := Mult^{+} ∪ Mult^{−}. Dann existiert ein Gruppenisomorphismus

Mult^{±} ≅ Ẑ_{2}^{∗}.

Ein Element aus Ẑ_{2}^{∗} entspricht dabei genau dann einem multiplikativen (bzw. antimultiplikativen) Automorphismus von K(n), wenn es kongruent 1 (bzw. 3) modulo 4 ist.

Beweis: Die Bijektion Mult^{±} ↔ Ẑ_{2}^{∗} ergibt sich unmittelbar aus 2.4.3, 2.4.4 und der Beziehung von Σ(n) zur formalen Gruppe F_{n} 2.4.6 mit 2.4.D.

Die Identifikation von Mult^{+} (bzw. Mult^{−}) in Ẑ_{2}^{∗} rechnet man wie im Beweis von 2.2.1 nach: m ∈ Ẑ_{2}^{∗} entspricht dem Algebrenhomomorphismus ϕ_{m} : Σ(n) → K(n)_{∗} mit

[1/m]_{F_{n}}(x) = x +_{F_{n}} ∑_{i≥1}^{F_{n}}ϕ_{m}(t_{i})x^{2^{i}}.

Wie in 2.2.1 sieht man, daß

[1/m]_{F_{n}}(x) ≡ x + ϕ_{m}(t_{n})x^{2^{n}} mod (x^{2^{n}+1})

ist. Ist 1/m = 1 + 2a + 4b mit a ∈ { 0, 1 }, b ∈ Ẑ_{2}, so ist andererseits

[1/m]_{F_{n}}(x) = x +_{F_{n}} [2]_{F_{n}}([a]_{F_{n}}(x)) +_{F_{n}} [4]_{F_{n}}([b]_{F_{n}}(x))
≡ x + av_{n}x^{2^{n}} mod (x^{2^{n}+1}),

sodaß ϕ_{m}(t_{n}) = av_{n} ist. Die Behauptung folgt nun aus 2.4.3 und 2.4.4, da 1/m ≡ m mod 4 ist. □

A BP-zulässige Produkte P(n) ∧ P(n) → P(n) für p = 2

In [W77], Theorem 5.1 (4), wird behauptet, daß jedes primitive Element m ∈ P_{BP∧BP}(P(n) ∧ P(n), P(n)) vom Grad Null, das unter (ρ_{n} ∧ρ_{n})^{∗} : P(n)^{∗}(P(n)∧P(n)) → P(n)^{∗}(BP∧BP) auf ρ_{n}m_{BP} abgebildet wird, assoziativ sei. Der dort gegebene Beweis beruht aber auf einem Trugschluß. Wir zeigen dies zunächst am Beispiel des primitiven Elements μ+v_{3}μ(Q_{2}Q_{1}∧Q_{1}Q_{0}) ∈ P(3)^{∗}(P(3)∧P(3)) für p = 2, dessen Nichtassoziativität wir nachrechnen. (μ sei eins der in Abschnitt 1.5 konstruierten zulässigen Produkte auf P(n), p = 2.) Danach beweisen wir einen Satz, der zeigt, daß nur die wenigsten primitiven Elemente vom Grad Null assoziativ sind.

Wir benutzen dabei einige Eigenschaften der Bocksteinoperatoren Q_{i} ∈ P(n)^{∗}(P(n)), i = 0,…, n−1. Am einfachsten läßt sich die Existenz dieser Operatoren mit der Theorie der Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten begründen (vgl. [Y77]). Die so konstruierten Q_{i}’s sind Derivationen und erzeugen eine äußere Algebra Λ ⊂ P(n)^{∗}(P(n)).

(Ohne Bezug auf Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten — und daher eher im Sinne dieser Arbeit — könnte man die Q_{i} durch ihr Kroneckerdual charakterisieren, aber ein solcher Zugang wäre sehr rechnerisch.)

Wir zitieren aus [W77] die folgenden Tatsachen. (Es sei ⊗ = ⊗_{Z_{2}}.)

(A.1) Satz. Es ist P_{BP}(P(n), P(n)) = P(n)^{∗} ⊗ Λ. Das äußere Cohomologieprodukt \overline{∧} induziert Isomorphismen

P_{BP∧BP}(P(n) ∧ P(n), P(n)) = P(n)^{∗} ⊗ Λ \overline{∧} Λ

und

P_{BP∧BP∧BP}(P(n) ∧ P(n), P(n)) = P(n)^{∗} ⊗ Λ \overline{∧} Λ \overline{∧} Λ.
□

Damit kann man nun die Nichtassoziativität von μ̃ := μ + v_{3}μ(Q_{2}Q_{1} ∧ Q_{1}Q_{0}) : P(3) ∧ P(3) → P(3) für p = 2 nachrechnen: μ und μ̃ definieren äußere Cohomologieprodukte

\overline{∧} : P(n)^{∗}(X) ⊗ P(n)^{∗}(Y) → P(n)^{∗}(X ∧ Y) bzw. ⋄ : P(n)^{∗}(X) ⊗ P(n)^{∗}(Y) → P(n)^{∗}(X ∧ Y).

Da μ assoziativ ist, ist auch \overline{∧} assoziativ. Außerdem ist offensichtlich

x ⋄ y = x \overline{∧} y + v_{3}(Q_{2}Q_{1}x) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}y).

Da die Q_{i} Derivationen sind, gilt weiter Q_{i}(x \overline{∧} y) = (Q_{i}x) \overline{∧} y + x \overline{∧} (Q_{i}y). Mit diesen Rechenregeln können wir zeigen, daß in P(n)^{∗}(P(n) ∧ P(n) ∧ P(n))

(Q_{2} ⋄ id) ⋄ id ≠ Q_{2} ⋄ (id ⋄ id)

ist. Es ist

Q_{2} ⋄ id = Q_{2} \overline{∧} id + v_{3}(Q_{2}Q_{1}Q_{2}) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}) = Q_{2} \overline{∧} id,
(Q_{2} ⋄ id) ⋄ id = (Q_{2} \overline{∧} id) \overline{∧} id + v_{3}(Q_{2}Q_{1}(Q_{2} \overline{∧} id)) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0})
= Q_{2} \overline{∧} id \overline{∧} id + v_{3} (Q_{2}(Q_{2}Q_{1} \overline{∧} id + Q_{2} \overline{∧} Q_{1})) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0})
= Q_{2} \overline{∧} id \overline{∧} id
+ v_{3} ((Q_{2}Q_{2}Q_{1}) \overline{∧} id + (Q_{2}Q_{1}) \overline{∧} Q_{2} + (Q_{2}Q_{2}) \overline{∧} Q_{1} + Q_{2} \overline{∧} (Q_{1}Q_{2})) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0})
= Q_{2} \overline{∧} id \overline{∧} id + v_{3} ((Q_{2}Q_{1}) \overline{∧} Q_{2} \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}) + Q_{2} \overline{∧} (Q_{1}Q_{2}) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}))

und

id ⋄ id = id \overline{∧} id + v_{3}(Q_{2}Q_{1}) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}),
Q_{2} ⋄ (id ⋄ id) = Q_{2} \overline{∧} (id ⋄ id) + v_{3}((Q_{2}Q_{1}Q_{2}) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}(id ⋄ id)))
= Q_{2} \overline{∧} (id ⋄ id)
= Q_{2} \overline{∧} id \overline{∧} id + v_{3}Q_{2} \overline{∧} (Q_{2}Q_{1}) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}).

Da

Q_{2} \overline{∧} id \overline{∧} id + v_{3} ((Q_{2}Q_{1}) \overline{∧} Q_{2} \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}) + Q_{2} \overline{∧} (Q_{1}Q_{2}) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0}))
≠ Q_{2} \overline{∧} id \overline{∧} id + v_{3}Q_{2} \overline{∧} (Q_{2}Q_{1}) \overline{∧} (Q_{1}Q_{0})

ist, ist ⋄ und mithin auch μ̃ nicht assoziativ.

Mit den hier verwendeten Rechenregeln kann man ganz allgemein für jedes vorgelegte primitive Element μ̃ : P(n)∧P(n) → P(n) die Assoziativität bzw. Nichtassoziativität durch stures Nachrechnen entscheiden. Dazu reicht es ja, μ̃(μ̃ ∧ id) = (id ⋄ id) ⋄ id und μ̃(id ∧ μ̃) = id ⋄ (id ⋄ id) durch die Standardbasis von Λ \overline{∧} Λ \overline{∧} Λ auszudrücken. Um zu einem allgemeinen Resultat zu kommen brauchen wir allerdings noch etwas Theorie.

Zunächst läßt sich auf Λ bekanntlich ein Coprodukt Δ : Λ → Λ ⊗ Λ mit Δ(Q_{i}) = Q_{i} ⊗ id + id ⊗ Q_{i} definieren mit dem (Λ, Δ) zu einer Hopf-Algebra wird. Auf dem Z_{2}-Dual Λ^{∗} wird durch Δ eine Algebrenstruktur induziert. Ist Q_{i}^{∗} ∈ Λ^{∗} (bzgl. der Standardbasis von Λ) zu Q_{i} dual, so ist Λ^{∗} gerade die äußere Algebra über den Q_{i}^{∗}. Für x ∈ Λ, y, z ∈ Λ^{∗} ist ⟨y ⊗ z, Δ(x)⟩ = ⟨yz, x⟩, wobei ⟨−, −⟩ : Λ^{∗} ⊗ Λ → Z_{2} die Dualitätsabbildung ist.

Wir benutzen, daß die Zuordnungen

χ : Λ ⊗ Λ ∋ x ⊗ y ↦ x \overline{∧} y ∈ Λ \overline{∧} Λ

und

χ : Λ ⊗ Λ ⊗ Λ ∋ x ⊗ y ⊗ z ↦ x \overline{∧} y \overline{∧} z ∈ Λ \overline{∧} Λ \overline{∧} Λ

Isomorphismen sind. Für θ ∈ Λ ⊗ Λ oder θ ∈ Λ ⊗ Λ ⊗ Λ schreiben wir im folgenden \overline{θ} statt χ(θ). Damit gilt:

(1)  θμ = \overline{Δ(θ)},  für alle θ ∈ Λ.

Für θ = id ist dies offensichtlich. Falls θ = θ′Q_{i} ist und (1) für θ′ gilt, so ist

θμ = θ′Q_{i}μ
= θ′μ(Q_{i} ∧ id) + θ′μ(id ∧ Q_{i})
= \overline{Δ(θ′)}(Q_{i} ∧ id) + \overline{Δ(θ′)}(id ∧ Q_{i})
= \overline{Δ(θ′)(Q_{i} ⊗ id)} + \overline{Δ(θ′)(id ⊗ Q_{i})}
= \overline{Δ(θ′)Δ(Q_{i})}
= \overline{Δ(θ′Q_{i})}
= \overline{Δ(θ)}.

(1) ist damit gezeigt, denn die geforderte Beziehung ist in θ additiv und Λ wird von den Q_{i}’s erzeugt.

Genauso ergibt sich auch

(2)  \overline{θ}(id ∧ μ) = \overline{(id ⊗ Δ)(θ)} und \overline{θ}(μ ∧ id) = \overline{(Δ ⊗ id)(θ)}  für alle θ ∈ Λ ⊗ Λ.

Wir betrachten nun ein Produkt μ̃ : P(n) ∧ P(n) → P(n) der Form μ̃ = μ + v_{n}\overline{θ} mit θ ∈ Λ ⊗ Λ. Es ist

μ̃(μ̃ ∧ id) = μ(μ ∧ id) + v_{n}\overline{θ}(μ ∧ id) + v_{n}μ(\overline{θ} ∧ id) + v_{n}^{2}\overline{θ}(\overline{θ} ∧ id)

und

μ̃(id ∧ μ̃) = μ(id ∧ μ) + v_{n}\overline{θ}(id ∧ μ) + v_{n}μ(id ∧ \overline{θ}) + v_{n}^{2}\overline{θ}(id ∧ \overline{θ}).

Vergleichen wir die Koeffizienten von v_{n}, so ergibt sich, daß für ein assoziatives μ̃

\overline{θ}(μ ∧ id) + μ(\overline{θ} ∧ id) = \overline{θ}(id ∧ μ) + μ(id ∧ \overline{θ})

Basis für P(3) (ohne 1): v_{3}Q_{0}Q_{1}Q_{2} ⊗ Q_{1}, v_{3}Q_{1}Q_{2} ⊗ Q_{0}Q_{1},

v_{3}Q_{2} ⊗ Q_{2},

v_{3}Q_{0}Q_{1} ⊗ Q_{1}Q_{2}, v_{3}Q_{1} ⊗ Q_{0}Q_{1}Q_{2}.

Basis für P(4) (ohne 1): v_{4}Q_{0}Q_{1}Q_{2}Q_{3} ⊗ Q_{0}Q_{1}, v_{4}Q_{0}Q_{2}Q_{3} ⊗ Q_{2}, v_{4}Q_{2}Q_{3} ⊗ Q_{0}Q_{2}, v_{4}Q_{0}Q_{1}Q_{3} ⊗ Q_{0}Q_{1}Q_{2},

v_{4}Q_{3} ⊗ Q_{3},

v_{4}Q_{0}Q_{1}Q_{2} ⊗ Q_{0}Q_{1}Q_{3}, v_{4}Q_{0}Q_{2} ⊗ Q_{2}Q_{3}, v_{4}Q_{2} ⊗ Q_{0}Q_{2}Q_{3}, v_{4}Q_{0}Q_{1} ⊗ Q_{0}Q_{1}Q_{2}Q_{3}.

Basis für P(5) (ohne 1): v_{5}Q_{0}Q_{2}Q_{3}Q_{4} ⊗ Q_{0}Q_{2}, v_{5}Q_{0}Q_{3}Q_{4} ⊗ Q_{3}, v_{5}Q_{3}Q_{4} ⊗ Q_{0}Q_{3}, v_{5}Q_{0}Q_{2}Q_{4} ⊗ Q_{0}Q_{2}Q_{3},

v_{5}Q_{4} ⊗ Q_{4},

v_{5}Q_{0}Q_{2}Q_{3} ⊗ Q_{0}Q_{2}Q_{4}, v_{5}Q_{0}Q_{3} ⊗ Q_{3}Q_{4}, v_{5}Q_{3} ⊗ Q_{0}Q_{3}Q_{4}, v_{5}Q_{0}Q_{2} ⊗ Q_{0}Q_{2}Q_{3}Q_{4}.

Tabelle 1: Basis der primitiven Elemente vom Grad null für P(n), n ∈ {3, 4, 5}

ist. Mit (2) schreibt sich dies als

\overline{(Δ ⊗ id)θ} + \overline{θ ⊗ id} = \overline{(id ⊗ Δ)θ} + \overline{id ⊗ θ},

da μ(\overline{θ} ∧ id) = \overline{θ} \overline{∧} id = \overline{θ ⊗ id} ist. θ erfüllt also

(3) (Δ ⊗ id)θ + θ ⊗ id = (id ⊗ Δ)θ + id ⊗ θ.

Nun zu dem versprochenen Satz. Er korrigiert Theorem 2.4 aus [W86].

(A.2) Satz. μ und μ + v_{n}μ(Q_{n−1} ∧ Q_{n−1}) sind die einzigen assoziativen primitiven Elemente vom Grad Null in P(n)^{∗}(P(n) ∧ P(n)), die unter (ρ_{n} ∧ ρ_{n})^{∗} auf ρ_{n}m_{BP} ∈ P(n)^{∗}(BP ∧ BP) gehen.

Beweis: Wir betrachten Elemente vom Grad Null in P_{BP∧BP}(P(n) ∧ P(n)) = P(n)^{∗} ⊗ Λ \overline{∧} Λ, die von der Form ”1+ etwas zerlegbares“ sind. Tabelle 1 zeigt die Basiselemente vom Grad Null für n ∈ {3, 4, 5}. In [W86] wurde fälschlicherweise behauptet, daß nur 1 und v_{n}Q_{n−1} ⊗ Q_{n−1} den Grad Null hätten.

Wir untersuchen zunächst die Basiselemente in P(n)^{∗} ⊗ Λ ⊗ Λ vom Grad Null. Sei dazu

ϕ = λQ_{0}^{ϵ_{0}} ⋯ Q_{n−1}^{ϵ_{n−1}} ⊗ Q_{0}^{δ_{0}} ⋯ Q_{n−1}^{δ_{n−1}} = λα_{1} ⊗ α_{2}, ϵ_{i}, δ_{i} ∈ {0, 1}, λ ∈ P(n)^{∗}, α_{1}, α_{2} ∈ Λ

ein solches Basiselement. Wir nehmen λ ≠ 1 und λ ≠ 0 an. Da |Q_{i}| = 2^{i+1}−1 und |v_{i}| = −(2^{i+1}−2) = −2|Q_{i−1}| ist, ist

∑_{i=0}^{n−1} |Q_{i}| = ∑_{i=0}^{n−1}(2^{i+1} − 1) = 2^{n+1} − 2 − n < 2^{n+1} − 2 = −|v_{n}|.

Aus dieser Abschätzung folgt zunächst, daß λ = v_{n} ist, denn |α_{1} ⊗ α_{2}| < −|v_{n}^{2}| und für i > 0 ist |v_{n+i}| < |v_{n}^{2}|. Außerdem gibt es ein i für das Q_{i} in ϕ doppelt auftritt, d.h. ein i für das ϵ_{i} = δ_{i} = 1 ist. Andernfalls wäre nämlich |α_{1} ⊗ α_{2}| < |Q_{0}| + ⋯ + |Q_{n−1}| < −|v_{n}|. Damit ergibt sich:

Falls ϕ nicht 1 und nicht v_{n}Q_{n−1} ⊗ Q_{n−1} ist, ist es von der Form v_{n}αQ_{i} ⊗ Q_{i}β mit α, β ∈ Λ. α und β sind dabei (aus Dimensionsgründen) nicht beide 1.

Wir erhalten damit:

Es reicht zu zeigen, daß unter der Bedingung, daß μ̃ := μ + v_{n}\overline{θ} assoziativ ist, alle Koeffizienten der Form ⟨xQ_{i}^{∗} ⊗ Q_{i}^{∗}y, θ⟩, x, y ∈ Λ^{∗}, für x ≠ 1 oder y ≠ 1 verschwinden. ϵ : Λ^{∗} → Z_{2} sei die Augmentation, d.h es sei ϵ(x) = ⟨x, id⟩.

Wir wenden ⟨x ⊗ y ⊗ z, −⟩ auf (3) an und erhalten wegen ⟨x ⊗ y ⊗ z, θ ⊗ 1⟩ = ⟨x ⊗ y, θ⟩ϵ(z), ⟨x ⊗ y ⊗ z, (Δ ⊗ id)(θ)⟩ = ⟨xy ⊗ z, θ⟩, usw.

⟨xy ⊗ z, θ⟩ + ⟨x ⊗ y, θ⟩ϵ(z) = ⟨x ⊗ yz, θ⟩ + ⟨y ⊗ z, θ⟩ϵ(x).

Setzen wir y = Q_{i}^{∗}, z = Q_{i}^{∗}z̃ so erhalten wir daraus

⟨xQ_{i}^{∗} ⊗ Q_{i}^{∗}z̃, θ⟩ + ⟨x ⊗ Q_{i}^{∗}, θ⟩ϵ(Q_{i}^{∗}z̃) = ⟨x ⊗ Q_{i}^{∗}Q_{i}^{∗}z̃, θ⟩ + ⟨Q_{i}^{∗} ⊗ Q_{i}^{∗}z̃, θ⟩ϵ(x).

Da ϵ(Q_{i}^{∗}z̃) und Q_{i}^{∗}Q_{i}^{∗} null sind, vereinfacht sich dies zu

⟨xQ_{i}^{∗} ⊗ Q_{i}^{∗}z̃, θ⟩ = ⟨Q_{i}^{∗} ⊗ Q_{i}^{∗}z̃, θ⟩ϵ(x).

Sind x und z̃ Basiselemente und ist x ≠ 1, so ist ϵ(x) = 0, der gesuchte Koeffizient ⟨xQ_{i}^{∗} ⊗ Q_{i}^{∗}z̃, θ⟩ also wie behauptet Null. Für den Fall z̃ ≠ 1 argumentiert man analog. □

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